Giáo án Đại số & Giải tích 11 - Chương III: Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân

Chương III. DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Trong chương này chúng ta sẽ làm quen với phương pháp qui nạp toán học, một trong những phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu dãy số trong toán học. Ngoài ra, nội dung của chương còn giới thiệu một loại hàm số mới đó là dãy số, đồng thời giúp tìm hiểu một số vấn đề xung quanh hai loại dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân.

Tiết 37. BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

I.Mục tiêu:

-Giúp HS nắm được phương pháp chứng minh quy nạp

-Vận dụng chứng minh các mệnh đề chứa biến lấy giá trị trên tập N.

-Vận dụng vào việc giải một số bài tập đơn giản trong SGK.

II. Chuẩn bị:

-Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài.

-HS đọc trước bài mới phần phương pháp chứng minh quy nạp.

III.Nội dung và tiến trình lên lớp:

1. Bài cũ: không

2. Bài mới:

 

doc11 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Ngày: 15/04/2019 | Lượt xem: 37 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án Đại số & Giải tích 11 - Chương III: Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 ra kí hiệu dãy số, kí hiệu số hạng tổng quát.
-GV nêu VD1 .
-Số hạng đầu?
-Số hạng cuối?
-Viết dãy số dưới dạng khai trển?
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-HS cho biết giá trị của các số hạng.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-Cá nhân HS suy nghĩ và trả lời
Hoạt động 2: Tìm hiểu về cách cho dãy số 
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
II. Cách cho dãy số:
1.Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát 
VD2. Cho dãy số (un) với (1) 
2.Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
VD3. Cho dãy số (un) với un là độ dài cung AMn trong hình sau.
3.Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:
VD4. Xét dãy sồ (un) xác định bởi công thức 
-GV phân tích VD2, giúp HS hiểu được cách cho dãy số theo công thức tổng quát. 
H2. u1 =?, u2 = ?, u3 = ?, 
-GV phân tích VD3, giúp HS hiểu được cách cho dãy số bằng biểu diễn bằng lời.
-GV phân tích VD3, giúp HS hiểu được cách cho dãy số bằng hệ thức tru hồi.
u2 = ?, u3 = ?, 
-HS suy nghĩ trả lời.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-Cá nhân HS suy nghĩ và trả lời.
Hoạt động 3 Biểu diễn hình học của dãy số.
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
VD5. Xét dãy sồ (un) xác định bởi công thức .Biểu diễn hình học như sau.
-GV phân tích VD5, giúp HS hiểu được cách biểu diễn hình học của dãy số.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
Hoạt động 4. Khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
1.Dãy số tăng, dãy số giảm:
Định nghĩa: 
-Dãy số (un) đgl dãy số tăng nếu với mọi n ta có: un < un+1
-Dãy số (un) đgl dãy số tăng nếu với mọi n ta có: un > un+1
Ví dụ 6. a)Dãy số (un) với un = n2 là một dãy số tăng, vì với mọi n ta luôn có un = n2 < (n+1)2 = un+1
b)Dãy số (un) với un = là một dãy số giảm, vì với mọi n ta luôn có un = > = un+1
2.Dãy số bị chặn:
Định nghĩa: 
-Dãy số (un) đgl dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: n N* un < M
-Dãy số (un) đgl dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: n N* un > m
-Dãy số (un) đgl dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M, m sao cho: n N* m un M
-GV phân tích VD5, giúp HS hiểu được cách biểu diễn hình học của dãy số.
-GV yêu cầu HS đọc SGK và trả lời các câu hỏi:
+Dãy số (un) thư thế nào thì đgl dãy số bị chặn trên?
+Dãy số (un) thư thế nào thì đgl dãy số bị chặn dưới?
+Dãy số (un) thư thế nào thì đgl dãy số bị chặn?
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
IV.Củng cố – Luyện tập
GV yêu cầu HS thực hiện các công việc sau: Phát biểu định nghĩa dãy số; Phát biểu cách cho một dãy số; Phát biểu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bi chặn.
V.Hướng dẫn bài tập về nhà:
-Yêu cầu HS làm tất cả các bài tập còn lại SGK(thuộc phần này)
Tiết 40. 	BÀI TẬP 
Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: a)un = b)un = 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Tìm u1 thì cho n = , u2 thì cho n = , u3 thì cho n = , u4 thì cho n = , u5 thì cho n = 
a)u1 = , u2 = , u3 = 
u4 = , u5 = 
b)Tương tự 
Bài 2. Cho dãy số (un) với u1 = -1, un+1 = un + 3, n 1. Chứng minh bằng phương pháp qui nạp : un= 3n - 4
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
-Các bước chứng một mệnh đề A(n) đúng với nN*
Bước 1: Kiểm tra tính đúng của mệnh với n = 1
(Tức là u1 = 3.1 – 4 = )
Bước 2: Giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k (Tức là uk = 3k – 4)
Bước 3: chứng minh đề A(n) đúng với n = k+1 
(Tức là uk+1 = 3(k+1) – 4)
Với n = 1 thì u1 = -1 = 3.1 – 4 đúng 
Giả sử uk = 3k – 4 với k1
Theo công thức dãy số và giả thiết qui nạp ta có 
uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 +3 = 3(k+1) – 4 
Vậy công thức đã được chứng minh
Bài 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết a)un = 	b)un = 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
 Xét tính tăng, giảm của dãy số (un)
1)Xét hiệu: un+1 - un
2)Nếu un+1 - un > 0 thì (un) tăng
 Nếu un+1 - un < 0 thì (un) giảm
a)Xét hiệu un+1 - un = -() = =< 0 mọi nN* 
Vậy dãy số đã cho giảm 
b) Xét hiệu 
un+1 - un = = =>0 mọi nN* 
Vậy dãy số đã cho tăng.
Bài 4.Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bi chặn 
a)un = 2n2 - 1	b)un = 	c) un = sinn + cosn
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
1) Dãy số (un) bị chặn trên nếu un M
2) Dãy số (un) bị chặn dưới nếu un m 
3) Dãy số (un) bị chặn m un M
a)Bị chặn dưới vì un = 2n2 – 1 1 mọi n N*
b) 0 < un = . Vậy dãy số bị chặn 
Củng cố:-Các cách cho dãy số, dãy số tăng, giảm, bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn
Tiết 41. 	BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG
I.Mục tiêu: 
-Giúp HS nắm được khái niệm, định nghĩa về CSC và các tính chất của nó.
-Nắm được công thức tính số hạng tổng quát, tổng hữu hạn của CSC.
-Vận dụng định nghĩa, các cộng thức để tính một số bài tập trong SGK.
II. Chuẩn bị:
-Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài.
-HS làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
III.Nội dung và tiến trình lên lớp:
1. Bài cũ: Nêu cách cho dãy số?
2. Bài mới: 
Hoạt động 1: Định nghĩa
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
I.Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước ngay nó và một số d không đổi: (un) là một CSC un+1 = un + d , n N*.
d đgl công sai của CSC.
Kí hiệu: u1, u2, ,un, 
Ví du 1: 1, 2, 3, , n, (u1 = 1, d = 1)
 0, 2, 4, , 2n, (u1 = 0, d = 2)
-GV hướng dẫn HS xét dãy số:
0, 1, 2, 3, , n, n+1. Để ý đến tính chất đặc biệt của dãy số là: Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nó công thêm 1, từ đó dẫn dắt đến khái niệm CSC.
-Nêu định nghĩa CSC
-Kí hiệu CSC
-Lưu ý: Đại lương công sai (d)
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
Hoạt động 2: Số hạng tổng quát.
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
-Tìm số hạng bất kì của CSC:
u2 = u1 + d, u3 = u1 + 2d, u4 = u1 + 3d, 
Định lí 1 GS (un) là một CSC có số hạng đầu là u1, công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định theop công thức: un = u1 + (n -1)d
+Chứng minh: SGK.
Ví dụ 2: Cho CSC có u1 = -5, công bội d = 
a)Số 45 là số hạng thứ bao nhiêu?
b)Số có phải là số hạng của CSC trên không?
Giải: a)Ta có : un = -5 +(n - 1) mà un = 45 nên -5+(n - 1) = 45 từ đó n =101.
c)PT: -5 +(n - 1) = không có nghiệm nên không phải là số hạng của CSC trên.
-GV đặt vấn đề tìm số hạng bất kì của CSC.
-GV giới thiệu nội dung ĐL1
-GV hướng dẫn HS chứng minh ĐL1
-GV yêu cầu HS làm VD2.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-HS thực hiện.
Hoạt động 3:Tính chất các số hạng của CSC 
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Định lí 2: Trong một CSC, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk = với k 2.	(3)
Chứng minh: 
-Dùng định nghĩa với công sai d.
-Ta có: uk-1 + uk+1 = 2uk(với k 2)
Ví dụ 3: Cho CSC có 6 số hạng với u1 = , d = 3
Viết dạng khai triển của nó?
-GV giới thiệu nội dung định lí 2 và nói rõ nội dung định lí 2 là tính chất của CSC.
-Cùng với HS chứng minh định lí 2.
-Yêu cầu HS hoàn thành VD3.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-HS thực hiện.
Hoạt động 4. Tổng n số hạng đầu của một CSC
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Xét CSC: -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 
u1	 un	
-1
3
7
11
15
19
23
27
27
23
19
15
11
7
3
-1
3
7
11
15
19
13
27
 un	 u1
Nhận xét: Tổng ahi số hạng nằm trong cùng một cột bất kỳ bằng tổng của hai số hạng u1 và un
Định lí 3: GS un là một CSC. Với mỗi số nguyên dương n gọi Sn là tổng n số hạng đầu của nó (Sn = u1 + u2 ++ un). Khi đó ta có Sn =(4)
CHÚ Ý: Vì un = u1 + (n -1)d nên công thức (4) có thể viết 
Sn =
VD3:SGK.
-GV đặt vấn đề xét CSC un có công sai d với bảng sắp xếp các số hạng như SGK mà GV đã chuẩn bị sẵn ở bảng phụ.Hương dẫn HS quan sát và tính tổng hai số nằm trong xung một cột từ đó rút ra nhận xét.
-GV giới thiệu nội dung ĐL3.
-GV yêu cầu HS làm bài tập ở VD3.
-HS tiếp thu, ghi nhớ.
-HS thực hiện.
IV.Củng cố – Luyện tập
GV yêu cầu HS nhắc lại các nội dung sau: Định nghĩa CSC; số hạng tổng quát; Cách nhận biết SC; Tính chất và công thức tính số hạng tổng quát của CSC; Nội dung ĐL2; Công thức tổng n số hạng đầu của CSC; Nội dung ĐL3; Biết tinh1 tong Sn các số hạng đầu tiên của CSC.
 V.Hướng dẫn bài tập về nhà:
-Yêu cầu HS làm tất cả các bài tập còn lại SGK(thuộc phần này)
Tiết 42. 	BÀI TẬP 
Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng 
a)un = 5 – 2n 	b)un = 3n 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Xét hiệt un+1 - un
-Nếu un+1 - un = d(là một hằng số) thì là CSC
-Nếu un+1 - un = f(n)(là một hằng số) thì không là CSC
a)un+1 - un = -2 mọi n N*. 
Vậy dãy số là cấp số cộng có u1 = 3, d = -2.
b)un+1 - un = 2.3n 
Vậy dãy số không là cấp số cộng 
Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau, biết:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Áp dụng công thức un = u1 + (n-1)d
Bài 3. 
a)Cho u1 = -2, u20 = 55. Tìm d, S20
b)Cho d = -4 và S15 =120. Tìm u1, u15
c)Cho u12 = 17, S12 = 72. Tìm u1 và d
Hoạt động của thầy 
Hoạt động của trò 
1)Sn=
2)Sn = nu1 + 
3)un = u1+(n-1)d
a)d = 3, S20 = 530
b) 
c)u1 = -5, d = 2
Bài 4.Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ dánh chuông bào giờ và số chương bằng số giờ.
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Một giờ đánh 1 tiếng, hai giờ đánh hai tiếng, 3 giờ đánh 3 tiếng, 
Ta có tống các tiếng là S12 = 
Sn=
S12 = 1+2+3+4++12 = = 78(Tiếng)
Củng cố:Nhắc lại các công thức Sn=, Sn = nu1 + , un = u1+(n-1)d, d=un+1- un (CSC (un))
Tiết 43. 	BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN 
I.Mục tiêu: 
-Giúp HS nắm được định nghĩa về CSN và các tính chất của nó.
-Nắm được công thức tính số hạng tổng quát, tổng hữu hạn của CSN
-Vận dụng định nghĩa, các cộng thức để tính một số bài tập trong SGK.
II. Chuẩn bị:
-Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài.
-HS làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
III.Nội dung và tiến trình lên lớp:
1. Bài cũ: Nêu cách cho dãy số?
2. Bài mới: 
Hoạt động 1: Định nghĩa
Nội dung
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
I.Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng 

File đính kèm:

  • docGA 11-Chương III.doc
Giáo án liên quan