Đề thi và hướng dẫn giải Toán Đại học khối B năm 2012

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn : TOÁN; khối B
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số , m là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 
Câu 3 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1) : , (C2): và đường thẳng d: . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
Câu 8.a (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A(2;1;0), B(-2;3;2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Câu 9.a (1,0 điểm) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Câu 9.b (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình . Viết dạng lượng giác của z1 và z2
BÀI GIẢI
Câu 1: 
a) 	m= 1, hàm số thành : y = x3 – 3x2 + 3. Tập xác định là R. 
	y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2; y(0) = 3; y(2) = -1
	 và 
x
-¥ 	 0	2 +¥
y’
 +	 0 -	 0 +
y
 3 +¥
-¥ CĐ -1
	CT
	Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 2)
	Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -1
y
x
0
3
2
-1
	y" = 6x – 6; y” = 0 Û x = 1. Điểm uốn I (1; 1)
	Đồ thị : 
	b)	y’ = 3x2 – 6mx, y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2m 
	y có 2 cực trị Û m ¹ 0
	Vậy A (0; 3m3) và B (2m; -m3)
	SDOAB = Û m4 = 16 Û m = ±2 (nhận so với đk)
Câu 2 : 
Câu 3 : Giải bất phương trình . Đk : 0 £ x £ hay x ³ 	
	nhận xét x = 0 là nghiệm
	+ Với x ¹ 0, BPT Û ³ 3
	Đặt t = Þ = t2 – 2 (t ³ 2)
	Ta có : Û Û t ³ 3 hay 
	Û Û hay x ³ 4 
	Kết hợp với đk Þ 0 £ hay x ³ 4.
Câu 4 : Đặt t = ; ; 
A 
B 
C 
S 
H 
O 
D 
Câu 5
Nối BH ta có tam giác ABH cân tại H, do tính chất đối xứng
. Vậy .
Gọi SD là chiều cao của tam giác SAB 
Ta có 
Câu 6. Þ 
	P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y)
	= ; 	t = x + y
	f(t) = 
	f’(t) = 
	f’(t) = 0 Û t = 
t
f’(t)
 – 0 + 0 – 
f(t)
	Vậy P £ . Vậy max P = xảy ra khi t = 
	Û (có nghiệm)	hay (có nghiệm)
Câu 7a. Phương trình đường tròn (C) : 
Phương trình đường thẳng AB : AB có vtcp (b;-a)
Đường thẳng (d) có vtcp vì (1)
d(I,d) = Û 8 = 2a2 – c (2)
Thế (1) vào (3) ta có : 
Thế vào (2) ta có : c = 10 
Vậy phương trình đường tròn (C) : 
Cách khác : Gọi I (a;b) ; vì đường tròn tâm I cắt (C1) tâm O tại A, B sao cho AB .
Mà . Vậy d(I/d) = d(O/d) = = R
Ta có : 
Hệ (1) ; (loại) vì I và O phải cùng phía so với (d).
Hệ (2) 
Phương trình đường tròn : 
Câu 8a. 
Gọi tâm mặt cầu là 
, 
Ta có , 
Vậy phương trình mặt cầu là : 
Câu 9a. Số cách gọi 4 học sinh lên bảng là : 	
Số cách gọi 4 học sinh có cả nam lẫn nữ là : 
	TH 1: 1 nữ 3 nam có : 10.455 = 4550
	TH 2: 2 nữ 2 nam có : 4725
	TH 3 : 3 nữ 1 nam có : 1800 
Vậy số cách gọi 4 học sinh có nam và nữ là : 4550 + 4725 + 1800 = 11075
Vậy xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam lẫn nữ là : 
Cách khác: Xác suất chọn không có nam: P1 = 
	Xác suất chọn không có nữ : P2 = 
	Xác xuất có cả nam và nữ : P = 1 – (P1 + P2) = 
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b. Đặt AC = 2a , BD = a . Bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi R = 2.
Ta có 
Vậy phương trình của (E) : 
Câu 8b. Gọi B là giao điểm của mặt phẳng với Ox, B(b;0;0).
C là giao điểm của mặt phẳng với Oy, C(0;c;0).
Vậy pt mặt phẳng có dạng : và trọng tâm tam giác ABC là : 
. Pt đường thẳng AM : 
Vì nên 
Vậy pt mặt phẳng (P) là 
Câu 9b. Phương trình có hai nghiệm là 
Vậy dạng lượng giác của z1, z2 là : 
	z1 = 2(cos+ isin); 
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2012
Môn thi : TOÁN 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m là tham số thực.
	a) 	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
	b)	Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình (x, y Î R)
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân .
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy £ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 
2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Câu 9.a (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + . Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức.
BÀI GIẢI
Câu 1: 
a) 	m= 1, hàm số thành : y = x3 – x2 – 4x + . Tập xác định là R. 
	y’ = 2x2 – 2x – 4; y’ = 0 Û x = -1 hay x = 2; y(-1) = 3; y(2) = -6
	 và 
x
-¥ 	-1	2 +¥
y’
 +	 0 -	 0 +
y
3 +¥
-¥ CĐ -6
	CT
	Hàm số đồng biến trên (-∞; -1) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (-1; 2)
	Hàm số đạt cực đại tại x = -1; y(-1) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -6
y
x
0
3
-6
-1
2
	y" = 4x – 2; y” = 0 Û x = . Điểm uốn I (; )
	Đồ thị : 
	b)	y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1)
	y có 2 cực trị Û D’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 0 Û 13m2 – 4 > 0 
	Û m 
	Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) = 1
	Û -(3m2 – 1) + 2m = 1 Û 3m2 – 2m = 0 Û m = 0 (loại) hay m = (nhận)
Câu 2 : sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x Û sin3x – sinx + cos3x + cosx = cos2x
	Û 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = cos2x Û cos2x = 0 hay 2sinx + 2cosx = 
	Û cos2x = 0 hay 
	Û x = hay x = hay x = (với k Î Z).
Câu 3:	Û 
Û hay 
	Û hay 
Û hay hay 
Câu 4:
	. Đặt u = x Þ du = dx
	dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – cos2x
	I = = 
Câu 5:
A 
B 
C 
C/ 
A/ 
B/ 
D/ 
D 
H 
Hạ AH vuông góc A/B trong tam giác ABA/
Chính là d(A,BCD/) =h
Ta có 
Câu 6: Ta có
A = = 
A
Đặt t = x + y (), xét f(t) = f’(t) = 
f’(t) = 0 khi t = ; f(0) = 6, f(8) = 398, f() = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là xảy ra khi t = 
A f(t) . Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y = hay x = y = 
PHẦN RIÊNG
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a: AC cắt AD tại A (-3; 1)
	Vẽ MN // AD (N Î AC) Þ MN : 3x – 3y + 4 = 0
	Trung điểm của MN : K ()
	Vẽ KE ^ AD (E Î AD) Þ KE : Þ E (-2; 2)
	E là trung điểm AD Þ D (-1; 3). 	Giao điểm của AC và EK : I (0; 0)
	I là trung điểm BD Þ B (1; -3).	I là trung điểm AC Þ C (3; -1)
Câu 8a:	IH = d(I, (P)) = ;	R2 = IH2 + r2 = 9 + 16 = 25
	(S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25.
Câu 9a : 	(2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = 7 + 8i	Û (2 + i)z + 1 + i – 2i2 = 7 + 8i
	Û (2 + i)z = 7i + 4 	Û z = 
	Suy ra : w = z + 1 + I = 4 + 3i Þ 
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b: I Î (d) ÞI (t; 2t + 3) . AB = CD Þ êt ê = ê2t + 3ê Û t = -1 hay t = -3
	+ t = -1 Þ I (-1; 1) Þ R = Þ pt đường tròn : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2
	+ t = -3 Þ I (-3; -3) Þ R = Þ pt đường tròn : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
Câu 8b: Gọi M (2t + 1; -1 – t; t) thuộc (d)
	DAMB vuông tại M Û = (2t; -t; t – 2) vuông góc với = (2t – 1; -t; t)
	Û 6t2 – 4t = 0 Û t = 0 hay t = . Vậy M (1; -1; 0) hay M ().
Câu 9b: 	z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0
	D = 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2
	z = Û z = -1 – 2i hay z = -2 – i.