Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Năm học 2000-2001 (2)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học 2000-2001.
Cho biểu thức .
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x ạ ±1.
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng một
thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lương nước của vòi I chảy được. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Chứng minh rằng phương trình : có hai nghiệm
x1 = và x2 = .
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa
đường tròn ( M không trùng với A, B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB. Đường tròn (E) cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C, D.
a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN không đổi.
c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích D NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi D NPQ đại giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm quỹ tích điểm E.