Đề thi HSG môn Toán lớp 12 tỉnh Quảng Nam năm học 2007-2008

Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Quảng Nam Năm học 2007 -2008
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18/12/2007
Câu 1 (3 điểm): Giải bất phương trình sau :
  41 2 0
1
x
x
x
  
Câu 2 (3 điểm): Giải hệ phương trình sau :
2 2 2
3 2
2 0
2 3 6 1 2 1 3 0
x y x y
x x y x
        
Câu 3 (3 điểm): Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn :
3 3
, , 1
1 1
x xf f x x R x
x x
              
Câu 4 (3 điểm): Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
x
2 – 4xy + 6y2 – 2x – 20y = 29.
Câu 5 (3 điểm): Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) thỏa mãn điều kiện sau:
 
1 2
1
2 *3
2 1
, , ,
. ,n n n
u a u b a R b R
u u u n N
 
 
       
Câu 6 (3 điểm): Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy điểm D và E
sao cho DE song song với cạnh BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ∆ABC.
Chứng minh rằng: DE  1
8
( AB + BC + CA).
Câu 7 (2 điểm): Đặt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, với a, b, c là các
số nguyên tố. Cho biết x2 = y và hiệu z y là bình phương của một số
nguyên tố. Xác định tất cả giá trị của a, b, c.
=====/Hết/=====
ĐỀ THI CHÍNH THỨC