Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2009-2010 - THPT Đồng Yên

sở giáo dục và đạo tạo Hà giang
Trường thpt đồng yên
Đề chính thức
đề thi học sinh học sinh giỏi năm học 2009 – 2010
Môn: toán học
Thời gian làm bài 180 phút
( Không kể thời gian phát đề)
Câu I.(4điểm)	
Cho hàm số (1)	có đồ thị (C)
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu II.(4 điểm)
1) Giải bất phương trình sau: 9x + 9x +1 + 9x+2 < 4x + 4x+1 + 4x + 2
2) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
Câu III. (4 điểm)
1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 
2) Tính tích phân: 
Câu IV. (4 điểm)
1)Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và 3 góc ở đỉnh A đều bằng 600. Tính thể tích của khối hộp đó theo a.
2) Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện
c) Viết phương trình mặt cấu (S) có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
3) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng 
(d):
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Câu V. (4 điểm)
1)Một đội thanh niên tình nguyện của trường THPT Đồng Yên có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiên cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 xã của huyện Bắc Quang(Đồng Yên, Tân Thành, Tân Lập) sao cho mỗi xã có 4 nam và 1 nữ?
2) Chứng minh rằng với , ta có . Khi nào đẳng thức xảy ra?
---------------------------------------------- Hết-----------------------------------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
sở giáo dục và đạo tạo Hà giang
Trường thpt đồng yên
Đề chính thức
đáp án đề thi học sinh học sinh giỏi năm học 2009 – 2010
Môn: toán học
Câu
ý
Nội dung
điểm
I
1
Khảo sát hàm số (1)
(1) TXĐ: D = R
(2) Sự biến thiên
 a) Chiều biến thiên y’= x2 – 4x + 3
 y’ = 0 Û x = 1; x = 3
ị Hàm số đồng biến trên khoảng (- ∞; 1) và (3; +∞)
 Hàm số nghịch biến trên khoảng(1; 3)
 b) Cực trị:
 yCĐ = y(1) = 
 yCT = y(3) = 0
Ta có: y’’ = 2x – 4
 y’’ = 0 Û x = 2; y(2) = 
Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-∞; 2), lõm trên khoảng(2; +∞) và có điểm uốn là U (2; ).
 c) Giới hạn:
d)BảngGggggggggCCCCCCC
 biến thiên:
x
-∞ 1 3 + ∞
y’
 + 0 - 0 +
y
 +∞
 0
-∞
y
0
12
3
x
2
3
2
1
2/3 
4/3 
(3) Đồ thị: Giao điểm của đồ thị với trục Ox và Oy là các điểm (0; 0), (3; 0).
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
2
Tại điểm uốn U(2;2/3), tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 
y’(2) = -1. Tiếp tuyến D tại điểm uốn của đồ thị (C) có phương trình 
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x bằng y’(x) = x2 – 4x + 3 = (x-2)2 - 1 ≥ - 1ị y’(x) > y’(2), "x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 (là hoành độ điểm uốn)
Do đó tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
0,25
0,25
0,25
0,25
II
1
Giải bất phương trình :
Viết lại BPT dưới dạng 9x+9.9x+92.9x< 4x+4.4x+42.4x
 9x(1+9+92)<4x(1+4+42)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
0,50
0,50
0,50
2
Xác định m để phương trình có nghiệm
Điều kiện -1≤ x≤ 1. Đặt t = .
Ta có ≥ ịt ≥ 0, t = 0 khi x = 0.
t2 = 2 - 2 khi 
ị Tập giá trị của t là ( t liên tục trên đoạn[-1; 1]).
Phương trình đã cho trở thành: m(t +2) = - t2 + t + 2 Û
(*).
Xét f(t) = với 0≤ t≤ . Ta có f(t) liên tục trên đoạn [0; ]
Phương trình đã cho có nghiệm xÛ Phương trình (*) có nghiệm t ẻ[0; ]
Û .
Ta có: f(t) nghịch biến trên [0; ].
Suy ra: =f()=-1; = f(0) = 1.
Vậy giá trị của m cần tìm là -1≤ m ≤ 1.
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
III
1
Ta có: = 2() nên ()2 = 28()
= -28() = - 28
Vậy phần thực là - 27 = - 128
 phần ảo là - 128
0.50
0,50
0,50
2
Tính tích phân
đặt t = ịt2 = 1 + 3lnxị 2tdt = 3.
x = 1ị t = 1, x = eị t = 2.
Ta có 
0,50
0,50
1,0
0,50
IV
1
Hạ đường cao A’H.Gọi E và F Lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AD.Theo định lý 3 đường vuông góc ta có A’E vuông góc với AB và A’F vuông góc với AD.Hai tam giác vuông A’AE và A’AF có A’A chung,góc A’AE bằng góc A’AF nên chúng bằng nhau.Do đó HE =HF.Vậy H thuộc đường phân giác của góc BAD.Vì ABCD la hình thoi nên H thuộc AC.
trong tam giác vuông A’AE có góc A’AE bằng 600,AA’=a nên
AE= ,A’E=
Trong tam giác vuôngAHE có góc HAEbằng 300 nên 
HE=AE.tan300=
Từ đó suy ra A’H=
Do ABCD cạnh a có góc BAD bằng 600 nên BD=a
Từ đó suy ra diện tích ABCD bằng
Vậy thể tích hình hộp đã cho bằng 
0.50
0,50
0,25
0,25
0,25
2
a) Ta có :và ,suy ra mặt phẳng (BCD) có véc tơ pháp tuyến 
phương trình mặt phẳng (BCD) là : x-2(y-1)-2z=0 hay x-2y-2z+2=0
b)Thay toạ độ của điểm A vào phương trình của mặt phẳng (BCD) ta được: 1-2.(0)-2.(0)+2=3≠0
Suy ra A.Vậy A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện
c)Vì mặt cầu(S)có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng(BCD) nên (S) có bán kính là 
phương trình mặt cầu (S) là :
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
 (với một số thực t nào đó)
phương trình của 
0,25
0,25
0,25
0,25
v
1
Có cách phân công các thanh niên tình nguyện về xã Đồng Yên.Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về xã Đồng Yên cócách phân công các thanh niên tình nguyện về xã Tân Thành. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về xã Đồng Yên và xã Tân Thành thì có cách phân công thanh niên tình nguyện về xã Tân Lập.
Số cách phân công đội thanh niên tình nguyện của trường THPT Đồng Yên về 3 xã Đồng Yên,Tân Thành,Tân Lập của huyện Bắc Quang thoả mãn yêu cầu bài toán là: .
2,0
2
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có
 (1)
tương tự ta có: (2)
 (3)
cộng các bất đẳng thức (1),(2),(3),chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2,ta có điều phải chưng minh
Đẳng thức xảy ra (1),(2),(3) là các đẳng thứcx=0.
2,0