Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán khối X môn Toán - THPT Việt Trì

Sở giáo dục - đào tạo Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh Phú thọ giỏi toán khối x -thpt
 Trường THPT Việt trì 
Đề chính thức
 Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) 
Câu 1: a) Giải phương trình: = 1 – x 
Tìm điều kiện của tham số m và n để hai hệ phương trình sau tương đương:
 (I) (II)
Câu 2: Hãy biện luận số nghiệm thực của hệ phương trình sau với ẩn x, y theo số thực a:
Câu 3: Tổng các số nguyên dương lẻ liên tiếp bằng 2000. Tìm các số ấy.
Câu 4: Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E, F là các điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho : AE BE, AF CF và E, F D. Giả sử M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. 
Chứng minh rằng: AN NM .
Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC ( AB > AC ) với các đường cao AD, BE, CF ( D BC, E AC, F AB ). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC và AB lần lượt tại Q và R. Gọi P = EF BC. Chứng minh rằng:
Các điểm E, F, D và trung điểm của đoạn thẳng BC nằm trên một đường tròn
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC
Câu 6: Cho x, y, z R+ thoả mãn: xy + yz + zx + xyz = 4. Chứng minh rằng: 
	 x + y + z xy + yz + zx 
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
---------------------------------------------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Ho và tên thí sinh Số báo danh.