Đề tài Sáng tạo phương trình

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các kì thi chọn HSG, thi đại học chúng ta thường gặp các phương trình, hệ phương trình không mẫu mực, các bài toán đó có rất nhiều dạng và phương pháp giải khác nhau. Người giáo viên ngoài nắm được các dạng phương trình, hệ phương trình và cách giải của chúng để hướng dẫn học sinh tìm lời giải. Qua đó biết cách xây dựng lên các đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy.

Bài viết này tổng hợp một số phương pháp sáng tạo phương trình dựa trên hệ phương trình, đẳng thức lượng giác, phương trình lượng giác và hàm số đơn điệu. Từ các phương trình, hệ phương trình, đẳng thức đơn giản chúng ta sẽ xây dựng các phương trình khó và giải các bài toán đó.

Quy trình xây dựng các đề toán được trình bày thông qua các ví dụ, các bài toán được đặt ngay sau các ví dụ đó.

Thông qua bài viết xây dựng phương trình chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi “ vì sao lại có lời giải này ”.

13 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Lượt xem: 563 | Lượt tải: 0

Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề tài Sáng tạo phương trình, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

thi đại học chúng ta thường gặp các phương trình, hệ phương trình không mẫu mực, các bài toán đó có rất nhiều dạng và phương pháp giải khác nhau. Người giáo viên ngoài nắm được các dạng phương trình, hệ phương trình và cách giải của chúng để hướng dẫn học sinh tìm lời giải. Qua đó biết cách xây dựng lên các đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy. 
Bài viết này tổng hợp một số phương pháp sáng tạo phương trình dựa trên hệ phương trình, đẳng thức lượng giác, phương trình lượng giác và hàm số đơn điệu. Từ các phương trình, hệ phương trình, đẳng thức đơn giản chúng ta sẽ xây dựng các phương trình khó và giải các bài toán đó. 
 Quy trình xây dựng các đề toán được trình bày thông qua các ví dụ, các bài toán được đặt ngay sau các ví dụ đó.
Thông qua bài viết xây dựng phương trình chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi “ vì sao lại có lời giải này ”.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Tạp chí toán học và tuổi trẻ
2) Tuyển tập các đề thi OLYMPIC 30 - 4
3) Toán nâng cao Đại số 10.(Phan Huy Khải)
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
Chúng ta sẽ bắt đầu từ những ví dụ đơn giản để xây dựng phương trình dựa vào hệ phương trình.
Ví dụ 1: Xét hệ đối xứng loại hai sau đây:
Ta có bài toán sau:
 Bài toán 1 : 
 ( THTT, số 250, 4/1998 )
Giải:
Đặt: .Ta có hệ phương trình. lấy phương trình (2) trừ (1) ta có:
+) Trường hợp 1: x = y ta có: 
+) Trường hợp 2: thay vào 2 ta có: 
Vậy phương trình có các nghiệm là 
Nhận xét: Từ ví dụ 1 trên ta thấy nếu ta khai triển phương trình trên thì được một phương trình bậc cao phức tạp tất nhiên ta vẫn phân tích được nhưng nếu ta cố ý đưa phương trình nghiệm vô tỉ thì phân tích sẽ gặp nhiều khó khăn. Qua ví dụ trên ta thấy để tìm cách đặt trên là không dễ dàng. Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 2: Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm là vô tỉ
Do đó ta xét hệ sau đây: 
Bài toán 2: 
Giải:
 Đặt: . Khi đó ta có hệ phương trình: 
 lấy (1) trừ (2) ta có: 
 +) Trường hợp 1: thay vào phương trình (1) ta có: 
+) Trường hợp 2: thay vào phương trình (1) ta có: 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : 
Ví dụ 3: Xét phương trình bậc 3: 
 Do đó ta xét : 
Bài toán 3: Giải phương trình : 
Giải:
Đặt .Ta có hệ phương trình: lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta có: 
+) Ta có: Vì Do đó từ (3) ta chỉ có thay vào (1) ta có: sử dụng công thức ta có: 
 Phương trình (4) có tối đa 3 nghiệm và các nghiệm đó là: các nghiệm đó cũng là nghiệm của phương trình ban đầu.
Lưu ý: Cách đặt có thể được tìm ra bằng cách sau: Ta đặt ,tìm a,b. Khi đó từ phương trình ta có hệ: cần tìm a,b để hệ đã cho đối xứng;
 suy ra phép đặt
II . XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CÓ NGHIỆM THEO Ý MUỐN.
Ví dụ 4: Xét .khi đó: 
 Ta mong muốn có phương trình chứa và chứa , hơn nữa phương trình này được giải theo cách giải bằng cách đưa về hệ “gần” đối xứng loại 2. Vậy ta xét hệ phương trình sau:
 nếu đặt thay vào phương trình (*) ta có phương trình khó sau đây: 
Bài toán 4: Giải phương trình: 
Giải:
Cách 1: D = R
Phương trình được viết lại như sau: 
Đặt: theo cách đặt ta có hệ: lấy 2 phương trình trừ vế theo vế ta có: 
+) Trường hợp 1: vô lí
+) Trường hợp 2: x = y thay vào phương trình 1 ta có: 
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 3
Cách 2: D = R: Đặt ta có hệ: cộng vế theo vế của hai phương trình ta có: . Xét hàm số sau: .Vì hàm số đã cho đồng biến trên R do đó vậy ta có: cách giải hoàn toàn như trên.
XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH LỒNG GHÉP HÀM ĐƠN ĐIỆU
Ví dụ 5: Xét phương trình bậc 3 để lồng ghép hàm đơn điệu.
 Xét phương trình: 
Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: .Ta lồng ghép hàm đơn điệu sau đây:
Bài toán 5: Giải phương trình: 
Giải:
 Tập xác định: D = R
Phương trình đã cho tương đương: 
Xét hàm số: .Vì nên hàm số đồng biến R.Vậy ta có: .Vì hàm số: đồng biến nên phương trình (2) có tối đa 1 nghiệm. Xét 
 .Từ phương trình (2) ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : 
Bài toán 6: Giải phương trình.
( Chọn đội tuyển tp Hồ Chí Minh dự thi quốc gia 2002 – 2003 )
Giải
Tập xác định D = R. Phương trình viết lại:
Đặt: .Từ phương trình (1) ta có hệ phương trình: 
Lấy 2 phương trình trừ vế theo vế ta có: 
 +) Trường hợp 1: x = y thay vào phương trình (1) ta có: 
+) Trường hợp 2: vô lí
Vậy phương trình có các nghiệm là: 
Bài toán 7: Giải phương trình: ( Đề nghị OLYMPIC 30/04/2006 )
Giải 
Tập xác định D = R. Đặt ta có hệ phương trình:
 lấy hai phương trinh trừ vế theo vế ta có:thay vào phương trình (2) ta có : 
 Ta có: ta có: 
Phương trình (*) có tối đa 3 nghiệm và các nghiệm đó là:
 đó cũng là nghiệm của phương trình ban đầu
Nhận xét: Ta có thể giải bằng cách khác như sau:
Xét hàm số vì hàm số đồng biến trên R nên cách giải hoàn toàn tương tự như trên.
Ví dụ 6: Xét hàm số đồng biến trên R. Cho ta được 
Bài toán 8: Giải phương trình sau; 
Giải
Tập xác định R. Đặt ta có hệ phương trình
Cộng 1 và 2 theo vế ta có: 
Xét hàm số: .vì f(t) đồng biến trên R do đó ta có vì vậy 
Vậy phương trình có các nghiệm là: 
Ví dụ 7: Xét hàm số đồng biến trên R.cho 
Ta được: 
Khai triển và rút gọn ta có bài toán sau đây:
Bài toán 9: Giải phương trình: 
Giải
Đặt ta có hệ phương trình: 
cộng vế theo vế hai phương trình với nhau ta có: 
. Xét hàm số . Vì f(t) đồng biến trên R do đó ta có 
Vậy phương trình có các nghiệm là: x = 1; x = 2; x = 3
Ví dụ 8: Xét hàm số đơn điệu .cho ta được .Ta có bài toán sau đây.
Bài toán 10: Giả phương trình :
Giải
Điều kiện: .Đặt ta có hệ phương trình: cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta có: .Xét hàm số .Vì nên hàm số đã cho đồng biến trên .do đó: vô nghiệm.
Ví dụ 9: Xét hàm số: đơn điệu trên R, nếu cho ta được: 
Bài toán 11: Giải phương trình: 
Cách giải tương tự như trên
Ví dụ 10: Xét hàm số .Ta có .Vậy hàm số đồng biến trên R. Cho ta được .
Bài toán 12: Giải phương trình : 
Cách giải phương trình hoàn toàn tương tự như trên
Ví dụ 11: Xét hàm số đồng biến trên khoảng là
Cho ta được 
Bài toán 13: Giải phương trình: 
( Đề thi HSG khối chuyên Đại học Vinh 2009-2010)
Giải: Điều kiện: 
Khi đó phương trình được viết lại: 
Xét hàm số: ta có .
(1) bình phương hai vế phương trình (2) ta có: thay vào phương trình ban đầu chỉ có hai giá trị thỏa mãn.
Vậy phương trình có hai nghiệm là 
IV. SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ SÁNG TÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Ví dụ 12:
Từ công thức: lấy ta có:
Chọn ta được phương trình sau: 
Bài toán 14: Giải phương trình: 
( Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009 )
Giải
Ta có: 
phương trình đã cho tương đương : 
từ (1)(2) phương trình có 6 nghiệm là: ,
Ví dụ 13: Từ công thức: 
Đặt ta được: 
Chọn ta được 
Bài toán 15: Giải phương trình sau:
 (1)
Giải
Tập xác định R. Đặt thay vào phương trình ta được
 (1), mặt khác: 
Từ công thức (2) suy ra 1 có 5 nghiệm là : 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm là : 
Ví dụ 14: Từ công thức 
Lấy ta được 
Chọn ta có: 
Ta có bài toán sau:
Bài toán 16: Giải phương trình:
Giải
Đặt , thay vào phương trình ban đầu ta có:
Vì : vậy phương trình có 5 nghiệm là
 . Phương trình ban đầu có 5 nghiệm là:
XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 15: Từ phương trình lượng giác ta thấy phương trình này tương đương với phương trình 
Đặt ta được phương trình sau:
Bài toán 17: Giải phương trình sau: 
Nếu thay x bởi x-1 ta được bài toán khó hơn sau đây
 Bài toán 18: Giải phương trình sau: 
Ví dụ 16: Từ phương trình ta thấy phương trình này tương đương với : đặt ta được bài toán sau:
 Bài toán 19: Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện 
Nếu thì , vậy Không thỏa mãn phương trình (1). Do đó ta chỉ xét đặt Thay vào phương trình (1) ta có: 
Vì ta chỉ lấy các nghiệm . Phương trình đã cho có 3 nghiệm .
Ví dụ 17: Từ phương trình ta thấy phương trình này tương đương với .đặt ta được bài toán sau:
Bài toán 20 : Giải phương trình: 
Giải
Từ điều kiện . Đặt . Thay vào phương trình đã cho ta được 
Trên đoạn , ta lấy các nghiệm . Nghiệm của phương trình đã cho là: 
 Bằng các công thức sau đây và vận dụng một cách khéo léo ta có thể sáng tạo các phương trình theo ý muốn:
, các phương trình lượng giác tùy ý .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải các phương trình:
1) 
2) ( HSG TP Hồ CHÍ MINH 2004-2005 )
3) ( THTT, số 260, 4/2001 )
4) 
5) 
6) Giải hệ phương trình:
C. LỜI KẾT
Qua các ví dụ trên ta thấy “ Sáng tạo phương trình ” phát huy vai trò rất mạnh trong việc định hướng, cũng như giải quyết bài toán giải phương trình cũng như hệ phương trình vốn hay gặp trong các kỳ thi HSG. Có thể nói nó là chìa khóa giúp ta đưa bài toán từ khó về dễ, lạ về quen.
Trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG bản thân tôi nhận thấy phương pháp này đã giúp ích rất nhiều trong quá trình định hướng của thầy cũng như tiếp thu và xử lý của trò. Nó giúp ta giảm nhẹ tính tư duy và phức tạp của bài toán.
Với kinh nghiệm của bản thân còn ít, chắc chắn đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót, mong quý đồng nghiệp góp ý để đề tài đượ

File đính kèm:

BOI DUONG HSG HAY.doc