Đại số & giải tích 11: Phương trình lượng giác

Mục lục

Chủ đề 1. Một số kiến thức chung.1

§1. Các phương trình lượng giác cơ bản.1

§2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . 14

Chủ đề 2. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ.23

§1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản . 23

§2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos .31

§3. Phép đặt ẩn phụ t = tanx/2  . 39

§4. Phép đặt ẩn phụ t = tanx. 43

Chủ đề 3. Phương trình tích.45

pdf59 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Ngày: 09/04/2019 | Lượt xem: 297 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Đại số & giải tích 11: Phương trình lượng giác, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
2 1 coscos
2 2
x x
 , 4 4 21 1sin cos cos
2 2 2 2
x x x   , 
 6 6 21 3sin cos cos
2 2 4 4
x x x   , 1tan cot 1
2 cos
xx
x
  . 
B. CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Giải các phương trình 
 24 
a) 22cos sin 2x x  . 
b)   23 sin 1 2cosx x  . 
c) 2 29cos 5sin 5cos 4 0x x x    . 
Giải. 
a) Ta có 
 2 2
sin 0
2 1 sin sin 2 2sin sin 0 21 6sin
2 5 2
6
x k
x
PT x x x x x k
x
x k






 
 
           
 
 
  

. ( k  ). 
b) Ta có 
   2 23 sin 1 2 1 sin 2sin 3sin 1 0
2
2sin 1
2 (1 6sin
2 7
)
2
6
.
PT x x x x
x k
x
x k
x
x k
k






       
   
  
    
  

  



c) Ta có 
 2 2 2
1 2cos 32 (
11 arcsin 2cos
9
77
cos 5 1 cos 5cos 4 0 14cos 5cosx 1 0
).
PT
x kx
x kx
x x x x
k




    
 
        
        
 



Ví dụ 2. Giải các phương trình: 
a) [ĐHD06] cos3 cos 2 cos 1 0x x x    . 
b) [ĐHD02] cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x    ,  0;14x . 
c) 12cos 2 8cos 7
cos
x x
x
   . 
Giải. 
a) Ta có 
 25 
   3 2 3 2
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 4cos 2cos 4cos 2 0
cos 1
2cos cos 2cos 1 0 (21 cos 2cos
32
).
PT x x x x x x x
x kx
x x x k
x kx



           
  
       
    
 

b) Ta có 
   
 
3 2 3 2
3 2 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 4cos 8cos 0
cos 2cos 0 cos cos 2 0
PT x x x x x x
x x x x
         
     
 cos 0x  (do cos 2 1 0x x     ) 
2
x k    ( k  ). 
Ta có  0;14
2
k     0;1;2;3k  . 
Vậy các nghiệm thuộc đoạn  0;14 là 
2
 , 3
2
 , 5
2
 , 7
2
 . 
c) Điều kiện: cos 0x   
2
x k   . 
Ta có 
 cos 2cos 2 8cos 7 1PT x x x    ( cos 0x  ) 
  2cos 2 2cos 1 8cos 7 1x x x       
   23 24cos 8cos 5cos 1 0 cos 1 2cos 1 0x x x x x         
2cos 1
1 2cos
32
x kx
x kx



 
 
   
 
 ( k  ). 
Ta thấy trong các ví dụ trên, việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta 
phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ. 
Ví dụ 3. Giải các phương trình 
a)  222sin 2 sin cosx x x  . 
 26 
b) 2
1 tan 1
cos 3
x
x
  . 
c)  22cos 4 4 3 sin cos 5 4 3x x x    . 
Giải. 
a) Ta có  2 2 2sin cos sin 2sin cos 1 sin 2x x x cos x x x x      . Do đó: 
2
sin 2 1
2sin 2 sin 2 1 0 1sin 2
2
2 2
2 4
2 2 (
6 12
772 2
1
).
26
x
PT x x
x
x k x k
x k x k
x kx k
k
 
 
 
 



    
  

     
 
        
 
 
    
  

b) Ta có 
2
2
1 tan tan 11 0 tan 0 tan tan 0
cos 3 3 3
tan 0
( ).1tan
3 6
PT
x x k
x x k
x xx x x
x
k





             

 
  
   
 
  

c) Ta có 2cos 4 1 2sin 2x x  ,  2 2 2sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2x x x x x x x      . 
Do đó 
   
 
2 2
2
2 1 2sin 2 4 3 1 sin 2 5 4 3 4sin 2 4 3 sin 2 3 0
2 2
3 3 62sin 2 3 0 sin 2 (
22 2 2
3 3
).
PT x x x
k
x
x k x k
x x
x k x k
 
 
 
 
         
     
       
    




Ví dụ 4. Giải các phương trình 
a) 
22sin sin 1 0
2cos 3
x x
x
 


. 
b)  21 5sin 2cos cos 0x x x   
Giải. 
 27 
a) Điều kiện: 2cos 3 2
2 6
0 3cos xx x k       . Ta có 
2
2
2sin 1
2sin sin 1 0 21 6sin
2 7 2
6
x k
x
PT x x x k
x
x k






  
 
        
  

  

 ( k  ). 
Kết hợp điều kiện suy ra các họ nghiệm của phương trình là 2
6
k   , 7 2
6
k  ( k  ). 
b) Điều kiện: cos 0x  . Ta có 
21 5sin 2cos 0 (1)
cos 0 (2)
x x
PT
x
   
 

. 
Ta thấy 
 
 
2 2(1) 1 5sin 2 1 sin 0 2sin 5sin 3 0
sin 3 1 2
6 .1 7sin 22 6
x x x x
x x k
x x k




        
              
voâ nghieäm 
(2) cos 0
2
xx k    . 
Kết hợp điều kiện, ta được các họ nghiệm của phương trình là 
2
k  , 2
6
k   ( k  ). 
Ví dụ 5. Giải các phương trình 
a) [ĐHA10] 
 1 sin cos 2 sin 14 cos
1 tan 2
x x x
x
x
    
  

. 
b) 2cos 2 4cos 3tan cot 2 0
2
xx x x    
Giải. 
 28 
a) ĐK: 
cos 0 2
sin cos 0
4
x kx
x x x k




   
 
    

. 
Ta thấy sin cos1 tan
cos
x xx
x

  , sin cossin
4 2
x xx     
 
. Do đó 
 2
2
1 sin cos 2 1 sin cos 2 0 sin 1 2sin 0
2
2sin 1
2sin sin 1 0 2 .1 6sin
2 7 2
6
PT x x x x x x
x k
x
x x x k
x
x k






          
  
 
        
  

  

Kết hợp điều kiện, ta có các họ nghiệm là 2
6
x k    và 7 2
6
x k   ( k  ). 
b) Điều kiện: 
cos 0
2 2
sin 0 22 2
x x k x k
x x x kk

 

       
   
    
( k  ). 
Ta có 2cos 2 2cos 1x x  , 
2cos 2cossin 1 cos 12 2tan cot 1
2 cos cos cos cossin
2
x x
x x xx xx x x x

     . Do đó 
 2 2
2
3 2
1 32 2cos 1 4cos 3 1 2 0 4cos 4cos 3 0
cos cos
3cos (1)
4cos 4cos 3cos 3 0 4
cos 1 (2)
PT x x x x
x x
x
x x x
x
             
 
       
  
 1 cos 2 3 1(1) cos 2 2 2
2 4 2 3 6
x x x k x k              (thỏa mãn). 
 (2) 2x k    (thỏa mãn). 
 29 
Vậy các họ nghiệm của phương trình là 
6
x k    và 2x k   ( k  ). 
C. BÀI TẬP 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
a) [ĐHD13] sin3 cos2 sin 0x x x   . ĐS: 
4 2
k 
 , 2
6
k   , 7 2
6
k  . 
b) 2tan cos cos sin 1 tan . tan
2
xx x x x x     
 
. ĐS: 2k . 
c) [ĐHA06] 
 6 62 sin cos sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


. ĐS: 5 2
4
k  . 
d) sin 2 cos 2 tan cot
cos sin
x x x x
x x
   . ĐS: 2
3
k   . 
e)  3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x    . ĐS: 
3
k   . 
f) [ĐHB04]   25sin 2 3 1 sin tanx x x   . ĐS: 2
6
k  , 5 2
6
k  . 
g) 38cos cos3
3
x x   
 
. ĐS: 
6
k  , k , 
3
k  . 
h) [ĐHD05] 4 4 3sin cos sin 3 cos 0
4 4 2
x x x x            
   
. 
ĐS: 
4
k  . 
i) 
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x x
x x

  . ĐS: 
6
k   . 
j) 6 23cos 4 8cos 2cos 3 0x x x    . ĐS: 
4 2
k 
 , k . 
k) [ĐHB03] 2cot tan x 4sin 2
sin 2
x x
x
   . ĐS: 
3
k   . 
l)  2cos 2 cos 2 tan 1 2x x x   . ĐS: 2
3
k   , 2k  . 
m) [ĐHA05] 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x  . ĐS: 
2
k . 
n)  2 2 3sin cos 2 cos tan 1 2sin 0x x x x x    . ĐS: 2
6
k  , 5 2
6
k  . 
o) [ĐHA02] cos3 sin 35 sin cos 2 3
1 2sin 2
x xx x
x
     
,  0;2x  . ĐS: 
3
 , 5
3
 . 
Bài 2. Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn  1;70 của phương trình 
 30 
3 2
2
2
cos cos 1cos 2 tan
cos
x xx x
x
 
  . 
ĐS: 374 . 
Bài 3. Tìm m để phương trình  4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m     có ít nhất một 
nghiệm thuộc đoạn 0;
2
 
  
. 
ĐS: 
102
3
 m . 
 31 
§2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 
A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 
Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: 
 tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos ); 
 hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos ), 
ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau: 
 Dạng 1: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (1) 
Đặt 2
2; 2
sin cos 2 sin
4 1sin cos
2
t
t x x x tx x

    

      
   

. 
Phương trình (1) trở thành 
2 1; 0
2
f t t
 
 
 
. 
 Dạng 2: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (2) 
Đặt 2
2; 2
sin cos 2 sin 14 sin cos
2
t
t x x x tx x

               

. 
Phương trình (2) trở thành 
2
2
;1 0f t t
 
 
 
 . 
 Dạng 3: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (3) 
Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x      
 
  2
0; 2
sin cos
2
1
t
tx x
   



 

. 
 32 
Phương trình (3) trở thành 
2 1; 0
2
f t t
 
 
 
. 
 Dạng 4: Xét phương trình dạng 
 sin cos ;sin .cos 0f x x x x  . (4) 
Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x      
 
  2
0; 2
sin co 1s
2
t
tx x 
    

 

. 
Phương trình (4) trở thành 
2
2
1; 0f t t
 
 
 
 . 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Giải các phương trình 
a)  3 sin cos 2sin cos 3 0x x x x    . 
b)  sin 2 4 cos sin 4x x x   . 
c) sin cos 4sin 2 1x x x   . 
Giải. 
a) Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x      
 
  2
2; 2
1sin cos
2
t
tx x
    
 
 

. Phương trình trở thành: 
   
 
2 2
1
3 1 3 0 3 2 0
2
thoûa maõn
loaïi
t
t t t t
t

         

. 
22
1 4 41 sin
34 22 2 24 4
x kx k
t x
x kx k
 


  

                     
. 
Vậy các họ nghiệm của phương trình là 2x k và 2
2
x k   ( k  ). 
b) Ta có 
 2sin cos 4 sin cos 4 0PT x x x x     . 
 33 
Đặt 2
2; 2
sin cos 2 sin 14 sin cos
2
t
t x x x tx x

             



 . Phương trình trở thành 
   
 
2 21 4 4 0 4 3
3
1
0
thoûa maõn
loaïi
t t t t
t
t
 
    

   



. 
2 21 4 41 sin 2
34 2 22
4 4
x k x k
t x
x kx k
 
 
 
 
                      
. 
Vậy các họ nghiệm của phương trình là 2
2
x k   , 2x k   ( k  ). 
c) Đặt 
2
0; 2
sin cos 2 sin
4 sin 2 1
t
t x x x
tx
           


  
. Phương trình trở thành 
 24 1 1 1t t t     (thỏa mãn). 
sin 2 0
2
kx x     ( k  ). 
Vậy các nghiệm của phương trình

File đính kèm:

  • pdfChương I - Phương trình lượng giác.pdf