Công thức Toán 11

CÔNG THỨC TOÁN 11
I.LƯỢNG GIÁC (LG)
I.1.HÀM SỐ LG
I.1.1.GÓC VÀ CUNG LG:	Y
I.1.1.1.GÓC LG
GÓC LG (OX,OY) THEO THỨ TỰ NÀY LÀ GÓC QUÉT BỞI	Z
TIA OZ THEO MỘT CHIỀU NHẤT ĐỊNH TỪ OX ĐẾN OY. 
I.1.1.2.Đường tròn LG
Đường tròn có bán kính bằng đơn vị (R=1) và trên đó ta đã chọn một chiều (ngược chiều kim đồng hồ) làm chiều dương (+) được gọi là đường tròn LG.
I.1.1.3.Cung LG
CUNG LG AB VỚI A,B LÀ HAI ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LG LÀ CUNG VẠCH BỞI ĐIỂM M DI CHUYỂN TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LG THEO MỘT CHIỀU NHẤT ĐỊNH TỪ A ĐẾN B.
OX: TIA GỐC; OY: TIA NGỌN O X
B +
M
-1 O A
1
I.1.1.4.SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LG
SỐ ĐO CỦA GÓC LG: SĐ(OX,OY)=A0+K3600 TRONG ĐÓ 0<A0<3600 HAY SĐ(OX,OY)=a+K2p TRONG ĐÓ 0<a<2p 
SỐ ĐO CỦA CUNG LG: SĐAB=SĐ(OA,OB). (KỴZ)
I.1.1.5.CÔNG THỨC ĐỔI ĐƠN VỊ
l=Ra
A CÓ ĐƠN VỊ LÀ ĐỘ; a CÓ ĐƠN VỊ LÀ RADIAN (RAD) KHI ĐÓ TA CÓ: HAY
I.1.1.6.ĐỘ DÀI CỦA MỘT CUNG TRÒN
I.1.2.HÀM SỐ LG SIN TAN
AM=a+k2p (kỴZ) ta định nghĩa:
*Nhận xét: .
M
cot
I.1.2.1.ĐỊNH NGHĨA S
B
P T
-1 O A COS
Q 1
I.1.2.2.GIÁ TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LG
*BẢNG CÁC GIÁ TRỊ:
GÓC
HÀM
0 00
 300
 450
 600
 900
 1200
 1350
 1500
 1800
SIN
0
1
0
COS
1
0
-1
TAN
0
1
||
-1
0
COT
||
1
0
-1
||
*DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC:
GÓC
HÀM
 00<a<900
 900<a<1800
 1800<a<2700
 2700<a<3600
SIN
+
+
-
-
COS
+
-
-
+
TAN
+
-
+
-
COT
+
-
+
-
I.1.2.3.CÁC HỆ THỨC LG CƠ BẢN
I.1.2.4.CÁC CUNG LIÊN KẾT
Cung đối
Cung bù
Cung hơn kém p
Cung phụ
Cung hơn kém
Đặc biệt
I.1.2.5.KHẢO SÁT HÀM SỐ LG
1.MIỀN XÁC ĐỊNH
Y=SINU XÁC ĐỊNH KHI U XÁC ĐỊNH; Y=TANU XÁC ĐỊNH KHI
Y=COSU XÁC ĐỊNH KHI U XÁC ĐỊNH; Y=COTU XÁC ĐỊNH KHI (KỴZ)
2.CHU KỲ
CHU KỲ CỦA Y=SIN(AX+B), Y=COS(AX+B) LÀ: ; CHU KỲ CỦA Y=TAN(AX+B), Y=COT(AX+B) LÀ: .
I.1.3.CÔNG THỨC LG
Công thức cộng:
Công thức nhân:
Tích thành tổng:
cosa.cosb =[cos(a-b)+cos(a+b)]
sina.sinb =[cos(a-b)-cos(a+b)]
SINA.COSB =[SIN(A-B)+SIN(A+B)]
Tổng thành tích:
Công thức hạ bậc:
cos2a =(1+cos2a)
SIN2A =(1-COS2A)
Biểu diễn các hàm số LG theo 
I.2.PHƯƠNG TRÌNH
I.2.1.PHƯƠNG TRÌNG LG CƠ BẢN
* sinu=sinv	* cosu=cosvÛu=±v+k2p
* tanu=tanvÛu=v+kp	* cotu=cotvÛu=v+kp .
I.2.2.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LG THƯỜNG GẶP
1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
A.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH NÀY TA DÙNG CÁC CÔNG THỨC LG ĐỂ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH LG CƠ BẢN.
B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: LÀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG A.SIN2X+B.SINX+C=0 (HOẶC A.COS2X+B.COSX+C=0, A.TAN2X+B.TANX+C=0, A.COT2X+B.COTX+C=0) ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH NÀY TA ĐẶT T BẰNG HÀM SỐ LG.
2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Dạng: asinx+bcosx=c. Đk để phương trình có nghiệm là .
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt , ta được: sinx+tanacosx=
sinx+cosx=	 sin(x+)=.
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho, ta được: 
Đặt: . Khi đó phương trình tương đương:
 hay .
Cách 3: Đặt .
3.PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với .
+ Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Nếu phương trình có dạng asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d thì biến đổi d=d(sin2x+cos2x) rồi đưa về phương trình (*).
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4.PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |.
II.DÃY SỐ_CẤP SỐ
II.1.Dãy số
II.1.1.Định nghĩa
Dãy số là hàm số với đối số nguyên dương. Kí hiệu: (un) hay u0; u1;  ;un; trong đó u0 là số hạng đầu tiên, un là số hạng thứ n.
Ví dụ: Xét dãy số với n>0 có u1=1; u2=; ;un=
II.1.2.Tính tăng, giảm
(un) tăng Û unun+1, "n
Cách xác định tính tăng giảm của dãy số:
*Cách 1: Chứng minh trực tiếp unun+1)
*Cách 2: Lập hiệu số T:=un+1-un
Nếu T>0Þ (un) tăng
Nếu T<0Þ (un) giảm
*Cách 3: (un>0) Lập tỉ số H:=
Nếu H>1Þ (un) tăng
Nếu H<1Þ (un) giảm
II.1.3.Dãy bị chặn
(un) bị chặn trên Û $M: unM, "nỴN.
(un) bị chặn dưới Û $m: unm, "nỴN.
(un) bị chặn Û (un) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
II.2.Cấp số
II.2.1.Cấp số cộng (CSC)
II.2.1.1.Định nghĩa
 (hằng số d được gọi là công sai)
II.2.1.2.Công thức
1.Số hạng tổng quát
2.Tính chất các số hạng của CSC
3.Tổng n số hạng đầu của CSC
II.2.2.Cấp số nhân (CSN)
II.2.2.1.Định nghĩa
 (hằng số q được gọi là công bội)
II.2.2.2.Công thức
1.Số hạng tổng quát
2.Tính chất các số hạng của CSN
 (n³2)
3.Tổng n số hạng đầu của CSN
 (q¹1) 
III.GIỚI HẠN
III.1.Giới hạn của dãy số
a.Định nghĩa:
a được gọi là giới hạn của dãy số un nếu ">0 bé tuỳ ý $Nsao cho "n>N ta có |un-a|<. 
Kí hiệu:.
b.các giới hạn cơ bản:
limC=C; (C_hằng số) ;(keN)
.
c.Tính chất:
d.Cách tính:
*Dạng: lim (p(n),q(n) là các đa thức) thì chia tử và mẫu cho u với số mũ cao nhất (hoặc đặt u với số mũ cao nhất làm thừa số trước khi lấy lim).
*Dạng: lim[] ta nhân biểu thức liên hợp trước khi lấy lim.
III.2.Giới hạn của hàm số
a.Định nghĩa:
L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x®x0 nếu ">0 bé tuỳ ý $d>0 sao cho 0<x<x0<d ta có | f(x)-L|<. 
Kí hiệu:.
b.Tính chất:
c.Cách tính:
*Nếu thì 
*Nếu thì với a là số lớn nhất trong các số mũ của biến x.
*Giới hạn hàm căn thức: cách tìm tương tự cách tìm giới hạn của dãy số chứa căn thức.
* Giới hạn hàm LG: ta có: ;. Bằng các phép biến đổi LG đưa về một trong các dạng có chứa các giới hạn cơ bản trên. 
*Cách tính giới hạn trái, phải:
.
Khi đó: 
Điều kiện để $gh: 
III.3.Hàm số liên tục_ứng dụng
 III.3.1.Hàm số liên tục
. Các hàm đa thức, hữu tỉ, LG là liên tục trên tập xác định.
III.3.2.Ứng dụng (chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình)
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và f(a)f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a;b]
*
* *
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. Quy tắc nhân
Nếu muốn hoàn thành một công việc phải trải qua k giai đoạn,trong đó:
4Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện
4Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện
. . . . . . .
4Giai đoạn k có nk cách thực hiện
Khi đó, có tất cả n1.n2  nk cách hoàn thành công việt ấy.
II. Quy tắc cộng
Nếu một công việc có thể được hoàn thành theo một trong k trường hợp độc lập với nhau, trong đó: 
4Trường hợp 1 có n1 cách 
4Trường hợp 2 có n2 cách
. . . . . . .
4Trường hợp k có nk cách
Khi đó, số cách hoàn thành công việc ấy là: n1+n2+  +nk.
III. Hoán vị_chỉnh hợp_tổ hợp
1.Hoán vị
Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự của n phần tử đó.Số hoán vị của n phần tử là: Pn=n!=1.2.3(n-1).n 
hay Pn=n!=n.(n-1).(n-2)!
Quy ước: 0!=1!=1
2.Chỉnh hợp
Cho tập hợp A có n phần tử. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó là một cách sắp xếp k phần tử của tập hợp A theo một thứ tự nhất định (0<k£n)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 
3.Tổ hợp
Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử. Một tổ hợp chập k của n phần tử đó là một tập hợp con của A có k phần tử (0£k£n)
Số tổ hợp chập k của n phần tử là: 
Tính chất:
IV. Nhị thức newton
Hay: 
Hệ quả: 
Tính chất:
Số các số hạng của nhị thức bằng n+1.
Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n-k)-k=n
Số hạng tổng quát của nhị thức:
Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.
ü Một số phương pháp chứng minh đẳng thức tổ hợp:
4CÁC KẾT QUẢ CẦN NHỚ: 
4KHI CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VỀ TỔ HỢP; NẾU SỐ MŨ HAI VẾ BẰNG N THÌ LIÊN HỆ ĐẾN CÁC KẾT QUẢ TRÊN; NẾU SỐ MŨ NHỎ HƠN N THÌ LIÊN HỆ ĐẾN ĐẠO HÀM; NẾU SỐ MŨ LỚN HƠN N THÌ LIÊN HỆ ĐẾN NGUYÊN HÀM;
*
* *
ĐẠO HÀM
Định nghĩa:
Cho y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0Ỵ(a;b). Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại x0 được kí hiệu là y’(x0) hoặc f’(x0) và được định nghĩa như sau: hay .
Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bước 1: Tính 
Bước 2: Lập tỉ số 
Bước 3: Tìm giới hạn :=y’.
Quy tắc tính đạo hàm
Cơng thức tính đạo hàm
ĐỌC THÊM: }; ¾
Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Dạng tốn: Cho hàm số y=f(x) cĩ đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0;y0). Khi đĩ phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): (*).
Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp 2: y’’=(y’)’
Đạo hàm cấp 3: y’’’=(y’’)’
Đạo hàm cấp 4: y(4)=(y’’’)’
..
Đạo hàm cấp n: y(n)=(y(n-1))’.
*
* *