Chuyên đề về Hàm số - Bùi Anh Tuấn

ủa một 
đường thẳng
• Dạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu
Dạng 2A
Một số kiến thức chung về cực
trị của các hàm số phân thức
trong chương trình phổ thông.
Hàm số có
Gọi tam thức trên tử số của y’ là f(x). Hàm số có cực trị khi phương trình
y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
Ta có ĐK
Hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường
tiệm cận.
Với hàm số phân thức
Khi y’ = 0 ta có
Do đó tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn
Đó chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.
Dạng 2A. Một số kiến thức chung về cực trị của các hàm
số trong chương trình phổ thông
)0(aa' 
''
2
≠
+
++
=
bxa
cbxaxy 2)''(
'' x'22'
bxa
cabbabxaay
+
−++
=
'
'
a
b
x
o
−=



≠−
>∆
0)(
0'
oxf
2
''
'
v
uvvuy
v
uy −=⇒=
v'
u'
v
u
u v' vu' =⇒=
'
'
.
'
2
a
b
x
a
ay +=
Dạng 2B
Khoảng cách giữa hai điểm cực 
đại, cực tiểu

 Bài tập mẫu
Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị có khoảng cách nhỏ hơn 3.
Giải
Ta có
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt khác 1. 
ĐK 
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Ta có y1 = 2x1 -3m – 2 ; y2 = 2x2 -3m – 2
Theo định lí Vi-et : x1 + x2 = 2 ; x1x2 = 2m-2.
Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu
− + + +
=
−
2x (3m 2)x m 4y
x 1
− + −
=
−
2
2
x 2x 2m 2y ' ( x 1)
2y' 0 f(x) x 2x 2m 2 0 (x 1).= ⇔ = − + − = ≠
∆ > ∆ = − > 
⇔ ⇔ < 
≠ = − ≠ 
' 0 ' 3 2m 0 3
m
f(1) 0 f(1) 2m 3 0 2
Ta có
Kết hợp với điều kiện hàm số có cực trị, ta được 
Lưu ý 1. Khi tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số phân thức
ta sử dụng công thức
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2
AB (x x ) (y y ) 5(x x )
AB 5 [(x x ) 4x x ] 60 40m
51AB 3 AB 60 40m 9 m
40
= − + − = −
= + − = −
< <
5 1 3
m
4 0 2
v(x)
u(x)y =
= =
u(x) u'(x)y(x)
v(x) v'(x)
Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu

 Lưu ý 2. Bài toán:
Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng
cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn một điều kiện cho trước (trong
đó f(x) là một hàm số bậc ba hoạc hàm số phân thức).
Cách giải. 
• Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. 
• Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Tính y1, y2 theo x1, x2.
• Ta có
Sử dụng biến đổi (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 để áp dụng định lí Vi -
et.
Từ đó tìm được điều kiện của tham số.
( ) ( )= − + −2 21 2 1 2AB x x y y
Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu

 Bài tập tương tự
Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho OA,
OB vuông góc với nhau.
Giải
Ta có
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác 1. ĐK
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Ta có y1 = 2x1 - 4 m ; y2 = 2x2 - 4m
và theo định lí Vi-et : x1 + x2 = 2 ; x1x2 = 3m - 3.
− + +
=
−
2x 4mx m 3y
x 1
− + −
=
−
2
2
x 2x 3m 3y ' (x 1)
= ⇔ = − + − = ≠2y ' 0 f(x) x 2x 3m 3 0 (x 1).
∆ > ∆ = − > 
⇔ ⇔ < 
≠ = − ≠ 
' 0 ' 4 3m 0 4
m
f(1) 0 f(1) 3m 4 0 3
Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu

 Ta có :
Các giá trị trên thoả mãn ĐK 
Đáp số:
( ) ( )
( )
( )
= =
⊥ ⇔ = ⇔ + =
⇔ + − − =
⇔ − + + =
⇔ − − + =
⇔ − − = ⇔ = = −



 






 


 


 



1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2
OA (x ;y ), OB (x ;y )
OA OB OA.OB 0 x x y y 0
x x 2x 4m . 2x 4m 0
5x x 8m x x 16m 0
5 3m 3 16m 16m 0
1516m m 15 0 m 1; m
16
<
4
m
3
= = −
15
m 1; m
16
Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu

 Lưu ý. 
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu tại
A, B sao cho OA, OB vuông góc với nhau.(trong đó f(x) là một hàm số bậc
ba hoạc hàm số phân thức).
Cách giải. 
• Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. 
• Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Tính y1, y2 theo x1, x2.
Ta có
• Biến đổi hệ thức, áp dụng định lí Vi - et. Từ đó tìm được điều kiện
của tham số.
Tương tự: góc AOB nhọn khi 
góc AOB tù khi 
( ) ( )= =


 


1 1 2 2OA x ;y , OB x ;y , ⊥ ⇔ = ⇔ + =


 


 


 


 1 2 1 2OA OB OA.OB 0 x x y y 0
> ⇔ + >



 



1 2 1 2OA.OB 0 x x y y 0.
< ⇔ + <



 



1 2 1 2OA.OB 0 x x y y 0.
Dạng 2B. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu
Dạng 2C
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm 
về hai phiá của một đường 
thẳng

 Bài tập mẫu
Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hai điểm đại, cực tiểu của
đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng 2x + y – 1 = 0 (d).
Giải
Ta có
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 1. ĐK 
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Ta có y1 = 2x1 + m ; y2 = 2x2 + m.
A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi:
Dạng 2C.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng
+ +
=
+
2x m x 3y
x 1
+ + −
=
+
2
2
x 2x m 3y ' (x 1)
= ⇔ = + + − = ≠ −2y ' 0 f(x) x 2x m 3 0 (x 1).
∆ > ∆ = − > 
⇔ ⇔ < 
− ≠ − = − ≠ 
' 0 ' 4 m 0
m 4.
f( 1) 0 f( 1) m 4 0
1 1 2 2 1 2
2
1 2 1 2
(2x y 1)(2x y 1) 0 (4x m 1)(4x m 1) 0
16x x 4(m 1)(x x ) (m 1) 0
+ − + − < ⇔ + − + − <
+ − + + − <
Theo định lí Vi-et: x1 + x2 = -2 ; x1x2 = m - 3.
Thay vào BPT trên, ta được
Kết hợp với ĐK m < 4, ta được
( )− − − + − <
⇔ ⇔ − − < < − +
2
2
16 m 3 8(m 1) (m 1) 0
m + 6m - 39 < 0 3 4 3 m 3 4 3
− − < < − +3 4 3 m 3 4 3
Dạng 2C.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng

 Lưu ý. 

 Bài toán: Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực
tiểu sao cho hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường
thẳng y = ax + b (trong đó f(x) là một hàm số bậc ba hoặc hàm số phân
thức).

 Cách giải.
• Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. 
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Tính y1, y2 theo x1, x2.
• Ta có A, B nằm về hai phía của đường thẳng y = ax + b khi 
• Biến đổi hệ thức, áp dụng định lí Vi - et. Từ đó tìm được điều kiện
của tham số.
Tương tự. A, B nằm về một phía của đường thẳng y = ax + b khi
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường f(x,y) = 0 khi
f(x1,y1) f(x2,y2) 0.
− + − + <1 1 2 2(ax y b )(ax y b ) 0 .
− + − + >1 1 2 2(ax y b)(ax y b) 0.
Dạng 2C.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng

 Bài tập tương tự. 
Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho đoạn AB cắt cả trục
hoành và trục tung.
Giải
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt khác -1. ĐK 
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Ta có y1 = 2x1 - 5 m +1 ; y2 = 2x2 - 5 m +1.
Đoạn AB cắt cả trục hoành và trục tung khi : 
Theo định lí Vi-et: x1 + x2 = -2 ; x1x2 = -8m. 
− − + +
=
+
2x (5m 1)x 3m 1y
x 1
+ −
=
+
2
2
x 2x 8my ' (x 1)
( )= ⇔ = + − = ≠ −2y ' 0 f(x) x 2x 8m 0 x 1
∆ >
⇔ > −
− ≠
' 0 1
m .
f( 1) 0 8
<

<
1 2
1 2
x x 0
y y 0
Dạng 2C.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng
Ta có

 Ta được :

 Kết hợp các ĐK: 
ta được 0< m< 1.
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
= − 
= − + − + <
⇔ + − + + + − + <
⇔ − − − + + − + <
⇔ − − < ⇔ − < <
1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2
x x 8m 0 m 0
y y 2x 5m 1 2x 5m 1 0
4x x 2 5m 1 x x 5m 1 0
4 8m 4 5m 1 5m 1 0
325m 22m 3 0 m 1.
25
> − > − < <
1 3
m ; m 0; m 1
8 25
Dạng 2C.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng
Dạng 2D
Dấu của các giá trị cực đại, cực 
tiểu 
Dạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu

 Bài tập mẫu
Cho hàm số
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu của
hàm số cùng âm.
Giải
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt khác 1. ĐK 
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại (x1 ; y1), (x2 ; y2).
Ta có y1 = 2x1 - m – 3 ; y2 = 2x2 - m – 3
và theo định lí Vi-et : x1 + x2 = 2 ; x1x2 = - 2m + 2.
− + + +
=
−
2x (m 3)x 3m 1y
x 1
− − +
=
−
2
2
x 2x 2m 2y ' (x 1)
( )= ⇔ = − − + = ≠2y ' 0 f(x) x 2x 2m 2 0 x 1
∆ > ∆ = − > 
⇔ ⇔ > 
≠ = − ≠ 
' 0 ' 2m 1 0 1
 m .
f(1) 0 f(1) 1 2m 0 2
Ta có

 Từ đó dễ dàng tính được

 Ta có yCĐ < 0, yCT < 0 khi 

 Giải hệ trên và kết hợp với điều kiện , ta được 
 ĐS: 
Dạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu
+ = − −

= − +
1 2
2
1 2
y y 2m 2
y y m 6m 5
+ = − − −
⇔ 
= − + > 
1 2
2
1 2
y y 2m 2 0 m 1
m 1; m 5y y m 6m 5 0
>
1
m
2

< <

>
1
m 1
2
m 5

 Lưu ý.
Bài toán : Cho hàm số phân thức, tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực
tiểu đồng thời yCĐ < 0, yCT < 0. 
Cách giải. 

 Tính ý. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. 

 Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại A(x1 ; y1), B(x2 ; y2).
Tính y1, y2 theo x1, x2. Tính y1+ y2 và y1y2 .

 Ta có yCĐ < 0, yCT < 0 khi
Tương tự. Ta có : yCĐ > 0, yCT > 0 khi 
yCĐ , yCT trái dấu khi y1y2 < 0
+ <

>
1 2
1 2
y y 0
.
y y 0
+ >

>
1 2
1 2
y y 0
.
y y 0
Dạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu

 Bài tập tương tự. 
Cho hàm số .
Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm x > 1. Hãy xác định đó là điểm cực đại
hay cực tiểu của đồ thị.
Giải. 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt khác -1. ĐK 
Khi ĐK trên thoả mãn, phương trình có hai nghiệm thoả mãn
− + + +
=
+
2x (2m 5)x m 3y
x 1
+ − −
=
+
2
2
x 2x 3m 8y ' (x 1)
( )= ⇔ = + − − = ≠ −2y ' 0 f (x ) x 2x 3m 8 0 x 1
∆ >

− ≠
' 0
.
f( 1) 0
+
= ⇒ < − <1 2 1 2
x x 1 x 1 x .
2
Dạng 2D. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu
Ta có
 Do đó hàm số có cực trị tại điểm x > 1 khi