Chuyên đề Thể tích khối đa diện

ối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD 
	Þ 
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp theo x và y.
	HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
	Þ 
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.
	HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PQ, QR, RP. Chú ý: VAPQR = 4VABCD = 
	Þ 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
	HD: Þ 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = 7cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
	a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
	b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy một góc 450 và diện tích DABC¢ bằng 49cm2. Tính thể tích lăng trụ.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a, SA ^ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
	a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM.
	b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
(A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
HD:	
(B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
HD: 	
(D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B¢C.
HD: 	
(A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ^ BP và tính thể tích khối CMNP.
HD: 	
(B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ^ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
HD: 	
(D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với , BC = BA = a, AD = 2a. SA^(ABCD), . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).
HD: 	
(A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
HD: 	
(B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, , SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
HD: 	
(D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD: 	
(Dự bị 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = và . Gọi M là trung điểm CC1. Chứng minh MB ^ MA1 và tính khoảng cách d từ A đến (A1BM).
HD: 	
(Dự bị 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD: 	
(Dự bị 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^ (ABCD). AB = a, . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
HD: 	
(Dự bị 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
HD: 	
(Dự bị 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1BC1.
HD: 	
(Dự bị 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ^ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.
HD: 	
(Dự bị 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC' ^ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
HD: 	
(Dự bị 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
HD: 	
(Dự bị 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
HD: 	
(Dự bị 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
HD: 	tana = ;	
(Dự bị 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
	HD: 	
(Dự bị 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC¢ sao cho CK = . Mặt phẳng (a) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
	HD: 	
(Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ^ (ABC). Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC bằng 1200. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
(Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
	HD: 	
	ƠN TẬP KHỐI ĐA DIỆN
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và .
	a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
	b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng 
	c) Tính thể tích khối chóp.
	HD:	a) Sxq = 	c) V = 
Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc a và tạo với mp(SAD) góc b.
	a) Xác định các góc a, b.
	b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
	c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
	HD:	a) 	
	c) Stp = 
	V = 
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.	
	a) Chứng minh rằng SH ^ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
	b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
	c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
	HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD	 c) SK = 
Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B¢, D¢ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB¢D¢) cắt SC tại C¢. Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢.	
	HD:	 Þ VSAB¢C¢D¢ = 
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A¢, B¢, C¢, D¢. Chứng minh:
	HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.	
	a) Chứng minh SA ^ BC.
	b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
	c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
	HD:	b) V = ;	Stp = .
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a.	 
	a) Tính thể tích khối chóp.
	b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp.
	HD:	a) V = 	b) S = 
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là a.
	a)