Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, lôga - Nguyễn Thanh Trung

   
 Với t=4 
log log 2 23 32 4 2 2 log 2 3 93
x x
x x         
Bài 5 :
21 52 9
4
x
x 
 
 

  
 Giải 
 Pt 
2
1 52 922
x
x   
 

   
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 4 - 3/31/2010 
 
 
22 52 2 9
2( 2) 52 2 9
4 2 52 2 9 0
16 32 9 02 22
x x
x x
x x
xx
   
    
    
   
 Đặt t =2x , t > 0 . 
 Pt 16 32 9 02 tt
    
216 32 9 02
29 32 16 0
4( )
4 4 4x2 = x=log 29 9 9
t t
t
t t
t l
t




  
    
 

  
Bài 6 :
29 10 4
2 42
x
x


 Giải 
 Pt 2 29.4 2 . 10 4
x
x   
 
 
   
 2 2 2 236 2 .10 2 . 2
2 210. .2 362 22 2
2 (2 10) 3622
2(2 ) 10.2 144 0
x
x x
x x x
x x
x x
   
  
  
  
 Đặt t=2x , t > 0 . 
 Pt 2 10 144 0t t    
x8 2 =8 x=3
18( )
t
t l



  
 
Bài 7 :  
23 2. 0,3 3
100
x x
x   
 Giải 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 5 - 3/31/2010 
Pt 
 
23 32. 3
10210
xx
x
 
 
 
   
23 32. 3 02 1010
23 32. 3 0
10 10
2
3 32. 3 0
10 10
xx
x
x x
x x
 
 
 
   
   
   
    
    
     
   
   
   
Đặt t= 3
10
x
 
 
 
 , t>0 . 
Pt 2 2 3 0t t    
x33 =3 x=log 3310
10
1( )
t
t l
  
  
 


  


Bài 8: 8 18 2.27x x x  
 Giải 
Chia hai vế pt cho 27x , ta được : 
Pt 8 18 2
27 27
x x
x x   
8 18 2
27 27
32 2 2 03 33
32 2 2 0
3 3
3
2 2 2 0
3 3
x x
x x
x x
x x
   
   
   
          
   
   
   
             
  
   
   
   
Đặt t= 2
3
x
 
 
 
 , t > 0 . 
Pt 3 2 0t t    
 21 1 0
3
x
t x  
 
      
Bài 9 : 22 4-x(x -2x+2) =1(*) 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 6 - 3/31/2010 
2x -2x+2>0, x 2 2(*) (x -2x+2-1) 4-x 0
2 2(x -2x+2-1) 4-x 0
24 x 0 2 2
x=12 x=1x -2x+1=0 x 2
x 224 x 0
x





        
 

  

    
 
 
  
Bài 10 : x x(2- 3) +(2+ 3) =14 (*) 
Giải : 
1(*) (2 3) 14 
(2 3)
x
x   
Đặt xt=(2+ 3) >0 
1 x +(2+ 3) =14x(2+ 3)
1 2+t=14 t -14t+1=0t
2 x 2t=7+4 3=(2+ 3) (2+ 3) =(2+ 3) 
2 x 2t=7-4 3=(2- 3) (2+ 3) =(2- 3)
x=2
x=-2
 
 
 
 



 
 

Bài 11 :
2log (sin x+5sinxcosx+2) 10,54 = (*)
9
Giải : 
2log (sin x+5sinxcosx+2) 10,5(*) log [4 ]=log4 4 9
2 log (sin x+5sinxcosx+2)=log 30,5 0,5
2 sin x+5sinxcosx+2=3
2 5sinxcosx-cos x=0
πx= +kπcosx=0 2 (k z)
15sinx-cosx=0 x=arctan( )+kπ5









  
Bài 12 : x x(2 6) +1=5 (*) 
 Giải : 
2 6 1x x(*) ( ) +( ) =1
5 5
 
Nhận xét x = 2 là một nghiệm duy nhất của phương trình 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 7 - 3/31/2010 
Vì 2 6
5
<1 và 1
5
<1 do đó hàm 2 6 x( )
5
 + 1 x( )
5
 nghịch biến . 
Hàm g(x) =1 là hàm hằng .Do đó hai đồ thị cắt nhau tại một điểm duy nhất x=2 ;y=1. 
Phương trình lôgarit : 
f(x)>0
log f(x)=log g(x) g(x)>0a a
f(x)=g(x)





 
Cách giải phương trình lôgarit: 
1. Đưa về cùng cơ số. 
2. Đặt ẩn phụ . 
3. Mũ hóa 
(Ngoài ra ta còn dùng phương pháp đơn điệu , phương pháp đồ thị..) 
. 
Bài 1: Giải các phương trình sau : 
 1/ 3. log log 3 1 03 3x x   . 
 Giải 
 Điều kiện : 
0 0 0 1log 0 log log 1 13 3 3
x x x xx x x
   
  
  
  
     
 . 
 Pt 3. log (log 3 log ) 1 03 3 3x x     
3. log 1 log 1 03 3
3. log log 2 03 3
x x
x x
    
   
 Đặt t= 0 2log t =log x3 3x   . 
 Pt 23 2 0t t    
2 3 2 0
1
2
t t
t
t



   



 Với t=1 2log 1 log 1 33 3x x x      . 
 Với t=2 2 4log 2 log 2 log 4 3 813 3 3x x x x         . 
 Vậy : Pt đã cho có nghiệm là : x=3 , x=81 . 
Bài 2: log 3 log 2 01 1
3 3
x x   . 
 Giải 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 8 - 3/31/2010 
 Điều kiện : 
0 0
0 0 1log 0 log log 11 1 1 1
3 3 3
x x x xx x x
 
 
  
 
 
 

     

 . 
 Đặt t= 2log 0 log1 1
3 3
x t x   
2 3 2 0
1
2
PT t t
t
t



   



 Với t=1 12log 1 log 11 1 3
3 3
x x x      . 
 Với t=2
412log 2 log 2 log 41 1 1 3
3 3 3
x x x x   
 
        
 1
81
x  . 
 Vậy : Pt đã cho có nghiệm là : 1
3
x  , 1
81
x  
Bài 3 :  22(log ) 5log 9 3 03 3x x   
 Giải . 
 Điều kiện : x > 0 . 
 Pt  22(log ) 5 log 9 log 3 03 3 3x x     
 22(log ) 5 2 log 3 03 3
22(log ) 10 5log 3 03 3
22(log ) 5log 7 03 3
x x
x x
x x
    
    
   
 Đặt t= log x3 (x>0) . 
 Pt 
22 5 7 0
1
7
2
t t
t
t




   
 


 Với t =-1 1log 13 3
x x     
 Với t = 
7
7 7 2log 3 27 332 2
x x     
 Bài 4: 2 2lg 3lg lg 4x x x   
 Giải 
 Điều kiện : x>0 . 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 9 - 3/31/2010 
 Pt 2lg 3lg 2lg 4x x x    
 2lg 5lg 4 0x x    
 Đặt t = lgx . 
 Pt 2 5 4 0t t    
1 lg 1 10
44 lg 4 10
t x x
t x x



    

    
 Bài 5 : 1 log (5 ) 2log 3 12 83
x x    
 Giải 
 Điều kiện : x < 3 . 
 Pt  
1
log (5 ) 2log 3 123 82
x x     
 1log (5 ) 2. log 3 18 82
log (5 )(3 ) 18
(5 )(3 ) 8
1
x x
x x
x x
x
    
   
   
 
Bài 6 : log log log 113 9 27x x x   
 Giải 
 Điều kiện : x > 0 . 
 Pt log x+log x+log x=113 2 33 3
 
1 1log log log 113 3 32 3
1 1(1 ).log 1132 3
11log 1136
6log 11.3 11
log 63
63 729
x x x
x
x
x
x
x
   
   
 
 
 
  
Bài 7 : 5log log 33 2
x x  
 Giải 
 Điều kiện : 0 1x  . 
 Pt 1 5log3 log 23
x x   
 Đặt t= log3 x . 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 10 - 3/31/2010 
 Pt 1 5 0
2
t
t
    
52 1 0
2
22 log x=2 x=3 =93
1
1 1 2log x= x=3 = 332 2
t t
t
t






   
  

  
 Bài 8 : log ( 2) log ( 3) 2(*)2 1
2
x xe e    
 Giải 
 Điều kiện : 3 0xe   . 
(*) log ( 2) log ( 3) 22 2
 2 4( 3)
10 10 3 10 ln
3 3
x xe e
x xe e
x xe x e x
    
   
     
 Bài 9 : Giải các phương trình sau : 
 1/ log 64 log 16 32 2x x
  . 
 Giải 
 ĐK : 10 , 1 ,
2
x x x   . 
 Pt 6 4log 2 log 2 32 2x x
   
6log 2 4log 2 32 2
6 4 32log 2 log2 2
6 4 3
log 2 log 2log2 2 2
6 2 3
1 log log2 2
x x
x x
x x
x x
  
  
  

  

 Đặt t= log2 x . 
 Pt 6 2 3
1 t t
  

 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 11 - 3/31/2010 
 
 
6. 2(1 ) 3
1 .
6. 2(1 ) 3. 1 .
23 5 2 0
2 log 2 42
1 1
1 1 13 3log 2 22 13 3
32
t t
t t
t t t t
t t
t x x
t x x







  

    
   
    
 
       
Bài 10 : 32 24 log 2 0log4 22
x x   
 Giải 
 Đk : x>0 . 
 Pt 
2 34 log .2.log 2 02 222
x x  
 
    
  
 
214 .log 3log 2 02 22
2 214. . log 3log 2 02 22
2
log 3log 2 02 2
x x
x x
x x
 
 
 
 
 
 
   
   
   
 Đặt t= log2 x . 
 Pt 2 3 2 0t t    
1 log 1 22
2 log 2 42
t x x
t x x




    

    
 Bài 11: 1log (4 15.2 27) 2log 02 2 4.2 3
x x
x   
(*) 
 Giải 
 Đk: 4 15.2 27x x  >0 
 5.( ) 13. 6 0
2(*) log (4 15.2 27) log (4.2 3)2 2
24 15.2 27 (4.2 3)
22 2
22 ( )
5 log 32
2 3
x x x
x x x
x x
x l
x
x

 
   

 

   
  
 
 

Bài 12 : 216log 3log 03 327
x xxx
  (*) 
 Giải 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 12 - 3/31/2010 
 Đk : 
0
1
3
x
x






2(*) 16log 3log 03(3 ) 3
16 6 log log 03 33
16 63 1
x x
x x
x xx x
x x x
  
  
   
Bài 13 : 3log 1 log (3 ) log ( 1) 0(*)1 82
2
x x x      
 Giải 
 Đk : 1 3x  
(*) log ( 1) log (3 ) log ( 1)2 2 2
 ( 1)(3 ) 1
1 17
22 4 0
1 17
2
x x x
x x x
x
x x
x






     
    

    

 Bài 14 : 3 4log log log (3 ) 31 33
3
x x x   
 Giải 
 Điều kiện : x>0 . 
 Pt 
1
3 42log log log 3 log 31 1 3 33
23
x x x     
1
2 log 3log 1 4log 33 3 31
2
log 3log 4log 23 3 3
(1 3 4) log 23
2.log 23
log 1 33
x x x
x x x
x
x
x x
    
   
   
 
   
 Bài 15 : 2log ( 1) 6log 1 2 0(*)2 2x x     
 Giải 
 Điều kiện : 1x   
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 13 - 3/31/2010 
2(*) log ( 1) 3log 2 02 2
log ( 1) 1 12 
3log ( 1) 22
x
x x
xx
   
    
  
 
 
[(*) log (3 1)log 3(3 1)] 63 3
log (3 1)[1 log (3 1)] 6 03 3
x x
x x
   
     
Đặt 
log (3 1)3
22(*) 6 0
3
22 log (3 1) 2 3 1 3 log 103 3
1 283 log (3 1) 3 3 1 log3 327 27
xt
tt t
t
x xt x
x xt x



 

    
 
        
          
Bài 16: 2log (125 ).log 125x xx  
Bất phương trình mũ cơ bản : 
xa > b (0 <a 1) (hoặc x x xa b ,a <b, a b)  . 
Cách giải phương trình mũ : 
1. đưa về bpt cùng cơ số . 
2. Đặt ẩn phụ đưa về bpt mũ cơ bản . 
3. Lôgarit hóa . 
(Ngoài ra ta còn dùng phương pháp đơn điệu , phương pháp đồ thị..) 
Giải các bất phương trình . 
Bài 1: 
24x -15x+13 4-3x1 1<
2 2
   
   
   
  
2 2
2
4 15 13 4 3 4 12 9 0
32 3 0
2
x x x x x
x x
        
     
Bài 2 : 2x -7x+125 > 1 
 Bpt 2x -7x+12 05 > 5 
 x0
x>4



  
Bài 3 : 
x1x-12 >
16
 
 
 
 PT & BPTMŨ,LÔGA 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page - 14 - 3/31/2010 
 
x x1x-1 x-1 -42 > 2 > 242
1x-1 -4x2 >2 x-1>-4x x>
5
 
  
 
 
  
 Bài 4 : x-1 x-24 -2 < 3 
 Bpt 
x x4 2- <324 2
 
 
x x4 -2 <12
2x x2 -2 -12<0


 . 
 Đặt t =2x , t > 0 . 
 Bpt 2t -t-12 < 0 
 -3 < t < 4 
 Do t > 0 , suy ra : x x 20<t<4 t<4 2 <4 2 <2 x<