Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

t phẳng trên và M là một điểm trên mặt phẳng α. 
- α cắt β Û không cùng phương. 
- α song song β Û 
 - α trùng β Û 
Nếu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta có cách khác : 
- α cắt β Û A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 
- α song song β Û 
 - α trùng β Û 
Vấn đề 8
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. 
 + Hệ có một nghiệm duy nhất : d1 cắt d2. 
 + Hệ có vô số nghiệm : d1 và d2 trùng nhau. 
 + Hệ vô nghiệm : 
 cùng phương Þ d1 // d2. 
 	không cùng phương Þ d1 và d2 chéo nhau.
Cách 2 : 
+ Tìm vectơ chỉ phương 
+ Tìm điểm A Ỵ d1 và B Ỵ d2. 
 	a/ cùng phương: 
b/ không cùng phương ta có: 
* Nếu thì d1, d2 cắt nhau. 
* Nếu thì d1, d2 chéo nhau. 
Vấn đề 9
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng α. 
+ Hệ vô nghiệm : d // α. 
+ Hệ có nghiệm duy nhất : d cắt α 
+ Hệ vô số nghiệm : d Ì α 
Cách 2 : Tìm vectơ chỉ phương của d, pháp vectơ của α và tìm điểm A Ỵ d.
* Nếu (không vuông góc ) thì d cắt α.
* Nếu (vuơng gĩc ) thì 
Vấn đề 10
MẶT CẦU
1/ Phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I(a;b;c) và bán kính R 
	(S): ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2
2/ Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 
với A2 + B2 + C2 – D > 0 cũng là phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I(- A; - B; -C ) và bán kính R = 
3/ Giao của mặt cầu với mặt phẳng:
	(S): ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2
	(P): Ax + By + Cz + D = 0
Phương pháp 	
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mặt phẳng (P)	
Þ 
a/ Trường hợp 1:
Nếu IH < R thì (S) Ç (P) = ( C ) là 1 đường trịn cĩ tâm là H và bán kính r = 
Vậy, phương trình đường trịn là
 (C): 
b/ Trường hợp 2:
Nếu IH = R thì (S) Ç (P) = {H} và (P) là tiếp diện của (S) tại H .
c/ Trường hợp 3:
	Nếu IH > R thì (S) Ç (P) = tức là mặt phẳng (P) và mặt cầu khơng cĩ điểm chung.
CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG
Bài 1 : Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc O và có cặp VTCPa = ( 3;2;-1) , b = (4;-2;7). Lập phương trình mặt phẳng (P) .	 
Bài 2 : 	Trong không gian cho 3 điểm A(2;-1;1) , B(1;-4;1) , C(1;0;1) . Lập phương trình mặt phẳng (ABC)	 
Bài 3 :	Cho 2 điểm A(2;-1;3) , B(2;1;-1) . 
	Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của AB .	 
Bài 4 : 	Cho 2 điểm A (7;2;-3) , B(5;6;-4) . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A , B và song song với trục hoành .	
Bài 5 : 	Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2;-1;1) và vuông góc với các mặt phẳng : 2x – z + 1 = 0 ; y = 0 .	 
Bài 6 : 	Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với các mặt phẳng : 2x – y + 3z - 1 = 0 ; x+ 2y + z = 0 
Bài 7 : 	Cho 2 điểm A(1;-1;-2) và B(3;1;1) và mặt phẳng (P) : x – 2y + 3z – 5 = 0 . Lập phưong trình mặt phẳng (Q) đi qua A , B và vuông góc với mặt phẳng (P) .
Bài 8: 	Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) 
1/ Đi qua điểm M(3,-2,5) và vuông góc với vectơ n = (4,-3,2)
2/ Đi qua điểm N(1,6,-2) và vuông góc với (D) đi qua 2 điểm 
A(2,-5,6), B(-1,-3,2)
3/ Đi qua điểm E(-2,3,1) và có cặp vectơ chỉ phương 
a = (3,-5,2) , b = (1,-4,3)
4/ Đi qua 2 điểm A(4,0,2) , B(1,3,-2) và có 1 VTCP a = ( 4,5,3)
5/ Đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,-2,4) , B(3,2,-1), C(-2,1,-3)
6/ Đi qua điểm M(2,-3,4) và song song với mặt phẳng 
 (Q): 4x – 3y + 2z – 5 = 0 
7/ Cắt 3 trục tại A(2,0,0), B(0,-3,0) , C(0,0,6)
8/ Đi qua 2 điểm A(1,3,-5) , B(-2,-1,1) và song song với trục x’Ox .
9/ Đi qua điểm M(2,-5,3) và vuông góc với OM
10/ Đi qua điểm N(2,-3,4) và vuông góc với trục y’Oy 
11/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3,-2,5) , B(-5,4,7)
12/ Đi qua điểm E(-4,3,-2) và chứa trục y’Oy
13/ Đi qua 2 điểm A(2,-1,4) , B(3,2,1) và vuông góc 
mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z - 5 = 0 
14/ Qua điểm M(-1,4,-3) và vuông góc với hai mặt phẳng 
(Q) : x – 2y + z + 4 = 0 ; (R): 3x + y – 2z – 1 = 0.
Bài 10:	Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) :
Chứa trục Ox và điểm A (4,-1,2)
Chứa trục Oy và điểm B (1,4,3)
Chứa trục Oz và điểm C (3,-1,7)
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng (P):
a/ Song song với (Q): 3x – y – 2z + 4 = 0 và hợp với 3 mặt phẳng tọa độ 1 tứ diện cĩ thể tích bằng 8.
b/ Qua M(4;2;8) và tạo cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA:OB:OC = 1:2:3
Bài 12: Viết phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của các đường thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Đi qua điểm (2;0;-1) và cĩ VTCP (-1;3;5)
2/ Đi qua điểm (-2;1;-1) và cĩ VTCP (0;0;-5)
3/ Đi qua 2 điểm (2;3;-1) và (1;2;4)
4/ Đi qua điểm (4;2;-2) cà song song với đường thẳng AB với A(5;3;2) và B(2;1;-2)
5/ Qua điểm (-1;4;3) và vuơng gĩc với trục z’Oz tại K
6/ Qua (3;2;-1) và song song với trục Ox.
7/ Qua (2;-5;3) và song song với đường thẳng (d’) 
8/ Qua (-2;3;4) và vuơng gĩc với mặt phẳng (xOy)
Bài 13: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
1/ Biết phương trình tổng quát của (d) 
2/ Qua (2;-3;4) và song song với (d’) 
3/ Qua (1;-2;5) và vuơng gĩc với mp (P): 4x–3y+2z+5 = 0
Bài 14: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
1/ Qua (3;2;2) và vuơng gĩc với mp(xOy)
2/ Qua (2;3;4) và vuơng gĩc với trục y’Oy tại H
3/ Qua (-1;3;5) và song song với đường thẳng
	(d’): 	
4/ (d) lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (Q): 2x + 4y – z + 5=0 với 3 mặt phẳng tọa độ.
Bài 15: Cho tam giác ABC, với A(3;2;-1), B(1;4;-2) và C(5;-2;3). 
Viết phương trình tổng quát của:
1/ Trung tuyến AM
2/ Đường trung trực của BC trong tam giác ABC
3/ Đường cao AH
4/ Đường phân giác ngồi AD của gĩc A.
Bài 16: Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng (d)
1/ Song song với đường thẳng(d1): và cắt hai đường thẳng (d2): và (d3): 
2/ Qua (2;3;-1) và cắt hai đường thẳng 
(d1): ; 	(d2): 
3/ Qua (3;1;4) và vuơng gĩc với hai đường thẳng
(d1): ; 	(d2): 
BÀI 17: Tìm phương trình tổng quát của (d) trong trường hợp sau:
(d) là hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng 
(d’): trên mặt phẳng(P): 2x – y + 2z+3 =0
Bài 18: Tìm phương trình tổng quát của (d) trong các trường hợp sau: (d) là hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng 
(d’): 
a. Trên mặt phẳng Oxy
b. Trên mặt phẳng Oxz
c. Trên mặt phẳng Oyz
Bài:19	 7,8,9 /93 (SGK)
Bài 20: Cho điểm M(1;2;-1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 
1/ Trên đường thẳng (d): 
2/ Trên đường thẳng (d): 
3/ Trên đường thẳng (d): 
Bài 21: Cho điểm M(1;2;-1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M
1/ Trên mặt phẳng (P): 2x + y – 3z = 0
2/ Trên mặt phẳng Oxy
3/ Trên mặt phẳng Oxz
4/ Trên mặt phẳng Oyz
Bài 22: Cho điểm M(1;2;0), và đường thẳng
(d): 
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (d)
2/ Tìm tọa độ điểm N đối xứng của M qua (d)
Bài 23: Cho điểm A(2;3;1) và đường thẳng (d): 
Gọi H là hình chiếu của A trên (d) và B là điểm đối xứng của A qua (d).
1/ Tính AB
2/ Tính tọa độ của H và B.
Bài 24: Cho đường thẳng (d): và điểm M(1;2;3)
1/ Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuơng gĩc với (d)
2/ Tính tọa độ giao điểm A của (P) và (d)
3/ Tìm phương trình đường thẳng MA
4/ Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d), tính MN.
Bài 25: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 
(d) : và vuông góc với mặt phẳng 
(P): x – 2y + z + 5 = 0 
Bài 26 : Cho hai đường thẳng có phương trình :
(d1) : 	(d2) : 
a/ Với a cho trước hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (d1) và song song với (d2)
b/ Định a để tồn tại mặt phẳng (Q) đi qua (d1) và vuông góc với đường thẳng (d2)
Bài 27 :Lập phương trình chính tắc của đường thẳng 
(d) : 
Bài 28 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường thẳng (d1) có phương trình : 	
Bài 29 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3,2,1) cắt vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình : 
Bài 30 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình hình chiếu của đường thẳng : lên mặt phẳng : 
x + 2y + 3z + 4 = 0 
Bài 31 :Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(-4,-5,3) và cắt hai đường thẳng : 
(d1) : ;	(d1) : 
Bài 31:	Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3,2,1) vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình : và cắt đường thẳng 
(d’) : 
Bài 32:	Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình : mặt phẳng (P) : 2x + y + z – 1 = 0 
	Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của (d) và (P) , vuông góc với (d) và nằm trong (P).
Bài 33:	Cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình : 
(d) : và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0 
a/ Tìm giao điểm A giữa (d) và (P) 
b/ Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A và vuông góc với (P) và nằm trong (P) .
Bài 34:	Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình : 
(P) : 6x – y + 4z – 5 = 0 ;	(d) : 
Chứng minh (d) // ( P)
Tìm khoảng cách từ (d) đến (P) .
Bài 35: Chứng minh rằng đường thẳng 
(d) : và nằm trong mặt phẳng :
 4x – 3y + 7z – 7 = 0 
Bài 36 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình là:
(d) : ;	(d’) : 
Chứng minh rằng hai đường thẳng đó vuông góc nhau . Hai đường thẳng đó có cắt nhau không ? 
Bài 37 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình là:
(d) : ;	(d’) : 
Bài 38 :Trong không gian tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình là:
(d) : ;	(d’) : 
Chứng minh rằng hai đường thẳng cùng ở trong cùng một mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng này .
Bài 39:	Cho hai đường thẳng có phương trình :
(d1) : ;	(d2)