Chuyên đề Giới hạn hàm số - Nguyễn Tất Thu

x x
x
x
γ β
α β α
α
→ →
→
+ − + −
= + + + +
+ −
+
11 4 3 2
A
γ β α
= + + ( Áp dụng kết quả bài 9A ). 
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau: 
1) 12 21
2 1
lim
1x
x x
A
x→
− −
=
−
 2)
3
13
2
3 2
lim
3 2 2x
x x
A
x→
+ −
=
− −
Giải: 
1)
2
12
1 1
( 1)2 1
lim lim 0
( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 )x x
xx x
A
x x x x x x x→ →
− −− −
= = =
− + − + + − +
. 
2)
3
13
32 23
(3 2 )( 3 2 2)
lim
3( 2)( (3 2) 2 3 2 4)x
x x x
A
x x x→
+ − − +
=
− + + + +
2
32 23
( 2 1)( 3 2 2)
lim
3( (3 2) 2 3 2 4)x
x x x
x x→
− + + − +
=
+ + + +
. 
13 1A⇒ = − . 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 9 
Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau 
1)
3
14
1
7 1 5 1
lim
1x
x x
A
x→
+ − −
=
−
 2) 
3
15 47
2 20
lim
9 2x
x x
A
x→
+ − +
=
+ −
. 
Giải: 
1) 
3
14
1
7 1 2 ( 5 1 2)
lim
1x
x x
A
x→
+ − − − −
=
−
3
1 1
7 1 2 5 1 2
lim lim
1 1x x
x x
I J
x x→ →
+ − − −
= + = +
− −
. 
31 23
7( 1) 7
lim
12
( 1)( (7 1) 2 7 1 4)x
x
I
x x x→
−
= =
− − + − +
. 
1 1
5( 1) 5 5
lim lim
3( 1)( 5 1 1) 5 1 1x x
x
J
x x x→ →
−
= = =
− − + − +
Vậy 14
9
4
A = . 
2) Ta có: 
3
3
15 4 47 7
2 3 20 3
2 20 7 7lim lim
9 2 9 2
7
x x
x x
x x x xA
x x
x
→ →
+ − + −
−
+ − +
− −
= =
+ − + −
−
mà: 
7 7
2 3 1 1
lim lim
7 62 3x x
x
x x→ →
+ −
= =
− + +
3
3 327 7
20 3 1 1
lim lim
7 27( 20) 3 20 9x x
x
x x x→ →
+ −
= =
− + + + +
. 
4
4 4 43 27 7
9 2 1 1
lim lim
7 32( 9) 2( 9) 4 9 8x x
x
x x x x→ →
+ −
= =
− + + + + + +
. 
Vậy 15
1 1
1126 27
1 27
32
A
−
= = . 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 10 
Bài tập: 
Tìm các giới hạn sau: 
1)
2
5 32
2 5 2
lim
3 2x
x x
B
x x→
− +
=
− −
 2) 
4
6 31
3 2
lim
2 3x
x x
B
x x→
− +
=
+ −
3) 7 23
2 3
lim
4 3x
x x
B
x x→
+ −
=
− +
 4) 
3
8 40
1 1
lim
2 1 1x
x
B
x→
+ −
=
+ −
5)
3
9 47
4 1 2
lim
2 2 2x
x x
B
x→
− − +
=
+ −
 6) 
3
10 20
1 2 1 3x
lim
x
x
B
x→
+ − +
= 
7) 11 21
( 1)(2 1)(3 1)(4 1) 1
lim
1x
x x x x
B
x→
+ + + + −
=
−
. 
8)
3 32 2
12
0
4 2 4 2
lim
2 2x
x x x x
B
x x→
− + − + +
=
+ − −
. 
Dạng 3: Tìm ( )lim
( )x
f x
B
g x→±∞
= , trong ñó ( ), ( )f x g x → ∞ , dạng này ta còn gọi 
là dạng vô ñịnh ∞
∞
. 
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô ñịnh ở dãy số. Ta cần tìm 
cách ñưa về các giới hạn: 
* 
2
( )
lim k
x
x
x
→+∞
→−∞
= +∞ ; 2 1
( )
lim ( )k
x
x
x +
→+∞
→−∞
= +∞ −∞ . 
*
( )
lim 0 ( 0; 0)
nx
x
k
n k
x→+∞
→−∞
= > ≠ . 
*
0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )x x x x
k
f x k
f x→ →
= +∞ −∞ ⇔ = ≠ . 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 11 
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 
1)
2
16 2
3 5 1
lim
2 1x
x x
A
x x→+∞
+ +
=
+ +
2) 0 117 0 0
0 1
...
lim ( 0)
...
n
n n
mx
m m
a x a x a
A a b
b x b x b
−
→+∞
−
+ + +
= ≠
+ + +
. 
Giải: 
1) Ta có: 
2
2 2
16
2
2 2
5 1 5 1
(3 ) 3
3
lim lim
1 1 1 1 2
(2 ) 2
x x
x
x xx xA
x
x xx x
→+∞ →+∞
+ + + +
= = =
+ + + +
2) Ta có: 
1 1
0 1
17
1 1
0 1
( ... )
lim
( ... )
n n n
n n
x m m m
m m
a a a
x a
x x xA
b b b
x b
x x x
−
−
→+∞
−
−
+ + + +
=
+ + + +
* Nếu
1 1
0 1
0
17
1 1 0
0 1
...
lim
...
n n
n n
x m m
m m
a a a
a
ax x xm n A
b b b b
b
x x x
−
−
→+∞
−
−
+ + + +
= ⇒ = =
+ + + +
. 
* Nếu 
1 1
0 1
17
1 1
0 1
...
lim 0
( ... )
n n
n n
x m n m m
m m
a a a
a
x x xm n A
b b b
x b
x x x
−
−
→+∞
−
−
−
+ + + +
> ⇒ = =
+ + + +
( Vì tử 0a→ , mẫu 0→ ). 
* Nếu m n< 
1 1
0 1
0 0
17
0 01 1
0 1
( ... )
 khi . 0
lim
 khi 0
...
n m n n
n n
x m m
m m
a a a
x a
a bx x xA
a bb b b
b
x x x
−
−
−
→+∞
−
−
+ + + +
+∞ >
⇒ = = 
−∞ <+ + + +
. 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 12 
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 
 1)
2 2
18
2 1 1
lim
2 2x
x x
A
x→+∞
+ − +
=
+
 2)
2
19
2
3 2 1
lim
1 1x
x x
A
x→−∞
− + +
=
+ −
. 
Giải: 
1) Ta có:
2 2
18
1 1
| | 2 | | 1
lim
2
(2 )
x
x x
x x
A
x
x
→+∞
+ − +
=
+
2 2
1 1
2 1
2 1
lim
2 2
2
x
x x
x
→+∞
+ − +
−
= =
+
. 
2) 
2 2
19
2
2 1 1
| | 3 | |
lim
1 1
| | ( 1 )
| |
x
x x
xx x
A
x
xx
→−∞
− + +
=
+ −
2 2
2
2 1 1
3
lim 3
1 1
( 1 )
| |
x
xx x
xx
→−∞
− − − +
= =
− + −
. 
Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau 
 1)
3 3 2
20 4 4
3 1 2 1
lim
4 2x
x x x
A
x→−∞
+ − + +
=
+
 2)
2
21 3 3
1 2 1
lim
2 2 1x
x x x
A
x→+∞
+ − +
=
− +
. 
Giải: 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 13 
1) Ta có:
3
33 2
20
4
4
1 1 1
3 2
3 2
lim
2 2
4
x
x x
xx x
A
x
x
→−∞
+ + + +
+
= = −
− +
. 
2) 
2
2 2 2 2
21
3 3
3 3
1 2 1 1 2 1
( 1 ) ( 1 )
lim
2 1 2 1
( 2 ) 2
x
x x
x xx x x x
A
x
x xx x
→+∞
+ − + + − +
= = = +∞
− + − +
(do tử→ +∞ , mẫu 3 2→ ). 
Bài tập: 
Tìm các giới hạn sau 
1)
3 4
13 7
(2 1) ( 2)
lim
(3 2 )x
x x
B
x→+∞
+ +
=
−
 2) 
2
14
2
4 3 4 2
lim
1x
x x x
B
x x x→−∞
− + −
=
+ + −
3)
2
15
2
2 3 2
lim
5 1x
x x
B
x x→+∞
+ +
=
− +
 4) 
4 6
16 3 4
ln(1 )
lim
ln(1 )x
x x
B
x x→−∞
+ +
=
+ +
Dạng 4 : Dạng vô ñịnh: ∞ − ∞ và 0.∞ 
Phương pháp: 
 Những dạng vô ñịnh này ta tìm cách biến ñổi ñưa về dạng ∞
∞
. 
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 
1) 222 lim ( 1 )
x
A x x x
→+∞
= − + − 2) 223 lim (2 4 1)
x
A x x x
→−∞
= + − + 
Giải: 
1) Ta có: 
2 2 2 2
22
2 2
( 1 )( 1 ) 1
lim lim
1 1x x
x x x x x x x x x
A
x x x x x x→+∞ →+∞
− + − − + + − + −
= =
− + + − + +
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 14 
22
2
1 1
lim
2
1x
x
A
x x x→+∞
− +
⇒ = = −
− + +
. 
2) 
2 2
23
2
(2 4 1)(2 4 1)
lim
2 4 1x
x x x x x x
A
x x x→−∞
− − + + − +
=
− − +
2
1 1
lim
4
2 4 1x
x
x x x→−∞
+
= =
− − +
. 
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 
1) 3 3 2 224 lim ( 3 2 )
x
A x x x x
→−∞
= − + − 
2) 2 225 lim ( 2 2 )
x
A x x x x x x
→+∞
= + − + + . 
Giải: 
1) Ta có: 3 33 2 2 3 2 23 2 ( 3 ) ( 2 )x x x x x x x x x x− + − = − − + − + 
2
33 2 2 3 2 2 23
3 2
( 3 ) 3 2
x x
x x x x x x x x x
− −
= +
− + − + − −
24
23 3
3 2
lim lim 0
3 3 2
(1 ) 1 1 1 1
x x
A
x x x
→−∞ →−∞
− −
⇒ = + =
− + − + − − −
. 
2) Ta có: 
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 4 4
2 2
2 2
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + + − −
+ − + + =
+ + + +
2
2 2
2 1
2
2 2
x x x
x
x x x x x
+ − −
=
+ + + +
2 2 2
2
( 2 2 )( 2 1)
x
x x x x x x x x
−
=
+ + + + + + +
2
25
2 2 2
2
lim
( 2 2 )( 2 1)x
x
A
x x x x x x x x→+∞
−
⇒ =
+ + + + + + +
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 15 
25
2 1
lim
42 1 2 1
( 1 2 1 1)( 1 1 )
x
A
x x x x
→+∞
−
= = −
+ + + + + + +
. 
Ví dụ 3: Tìm giới hạn: 26 1 2lim [ ( )( )...( ) ]n n
x
A x a x a x a x
→+∞
= + + + − . 
Giải: 
ðặt 1 2( )( )...( )
n
n
y x a x a x a= − − − 
1 1 1( )( ... )n n n n ny x y x y y x x− − −⇒ − = − + + + 
1 1 1...
n n
n n n
y x
y x
y y x x− − −
−
⇒ − =
+ + +
1 2 1
lim ( ) lim
...
n n
n n nx x
y x
y x
y y x x− − −→+∞ →+∞
−
⇒ − =
+ + +
1
26 1 1 1
1
lim
...
n n
n
n n nx
n
y x
xA
y y x x
x
−
− − −→+∞
−
−
⇒ =
+ + +
. 
Mà 2 31 21 2 1lim lim ( ... ... )
n n
n
nn nx x
b b by x
a a a
xx x x− −→+∞ →+∞
−
= + + + + + + + 
 1 2 ... na a a= + + + 
1
1
lim 1 0,..., 1
k n k
nx
y x
k n
x
− −
−→+∞
= ∀ = − 
1 2 1
1
...
lim
n n n
nx
y y x x
n
x
− − −
−→+∞
+ + +
⇒ = 
Vậy 1 226
...
n
a a a
A
n
+ + +
= . 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 16 
Bài tập: 
Tìm các giới hạn sau: 
1) 217 lim ( x 1 )
x
B x x
→+∞
= − + − 2) 218 lim ( 4 1 )
x
B x x x
→−∞
= + − 
3) 2 219 lim ( 1 1)
x
B x x x x
→±∞
= − + − + + 
4) 3 320 lim ( 8x 2x 2x)
x
B
→+∞
= + − 
5) 4 4 221 lim ( 16 3 1 4 2)
x
B x x x
→+∞
= + + − + 
6) 3 322 lim ( 1 )
x
B x x
→−∞
= − − . 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 17 
Dạng vô ñịnh các hàm lượng giác 
PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến ñổi về các dạng sau: 
*
0 0
sin
lim lim 1
sinx x
x x
x x→ →
= = , từ ñây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tanx x
x x
x x→ →
= = . 
* Nếu 
0 0
sin ( )
lim ( ) 0 lim 1
( )x x x x
u x
u x
u x→ →
= ⇒ = và
0
tan ( )
lim 1
( )x x
u x
u x→
= . 
Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 27 20
1 cos
lim
x
ax
A
x→
−
= . 
Giải: 
Ta có:
2
2
27 20 0
2 sin sin
2 2lim lim
2 2
2
x x
ax ax
a a
A
axx→ →
 
 
 = = =
 
 
 
. 
Chú ý: Kết quả trên chúng ta thường hay ñược sử dụng ñể giải một số bài 
toán khác 
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau 
1) 28
0
1 sin cos
lim
1 sin cosx
mx mx
A
nx nx→
+ −
=
+ −
2) 29 20
1 cos . cos 2 . cos 3
lim
x
x x x
A
x→
−
= . 
Giải: 
1) Ta có: 
2
2
2 sin 2 sin cos
1 sin cos 2 2 2
1 sin cos
2 sin 2 sin cos
2 2 2
mx mx mx
mx mx
nx nx nx nx nx
+
+ −
=
+ −
+
x
sin sin cos
2 2 2 2. .
x
sin sin cos
2 2 2 2
mx n mx mx
m
n mx n nx nx
+
=
+
. 
Giới hạn hàm số 
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong 18 
28
0 0 0
x
sin sin cos
2 2 2 2lim . lim . lim
x
sin sin cos
2 2 2 2
x x x
mx n mx mx
m m
A
n mx n nx nx n→ → →
+
= =
+
. 
2) Ta có: 
2 2
1 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )1 cos . cos 2 .cos 3 x x x x x xx x x
x x
− + − + −−
=
2 2 2
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
cos . cos 2 cos
x x x
x x x
x x x
− − −
= + + . 
Sử dụng kết quả bài 27A ta có: 
29 2 2 20 0 0
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
lim lim cos . cos 2 lim cos 3
x x x
x x x
A x x x
x x x→ → →
− − −
= + + =
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: 
1) 30
0
1 cos 2
lim
3
2 sin
2
x
x
A
x→
−
= 2) 31
0
cos 2 cos 3
lim
(sin 3 sin 4 )x
x x
A
x x x→
−
=
−
3) 
2
32 30
tan 2
lim
1 cos 2x
x
A
x→
=
−
Giải: 
1) Ta có:
2
2
30
0 0 0
3
sin
sin sin 3 2lim lim ( ) . lim 0
3 2 3
sin
2 2
x x x
x
x x
A x
x x x→ → →
= = = .