Các phương pháp giải hệ phương trình trong Toán học

T×m a ®Ó hÖ sau cã ®óng 4 nghiÖm: 
2 2
1 1 7
49 4 2 1
x y
y x a x
⎧ − − =⎪⎨ + + = −⎪⎩
( Ph−¬ng ph¸p chuyÓn Èn míi) 
5) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt: x4-2mx2-x-m2-m=0 
6) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++++
≥++
0163216168
5
2
4
224
2
2
2
mmmxxx
x
xx
7) Cho ph−¬ng tr×nh: x2+(2a-6)x+a-13=0. Khi a ≥ 1 t×m a ®Ó nghiÖm lín cña ph−¬ng tr×nh ®¹t lín nhÊt. 
 Ph−¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ 
 Cho hÖ ph−¬ng tr×nh (hoÆc hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh ) cã tham sè d−íi d¹ng: 
 (I) 
( , ) 0
,x m
f x m
x D m D
=⎧⎨ ∈ ∈⎩
 (hoÆc (II) 
( , ) 0
,x m
f x m
x D m D
≥⎧⎨ ∈ ∈⎩
) 
 Trong ®ã x lμ biÕn, m lμ tham sè; ,x mD D t−¬ng øng lμ c¸c miÒn x¸c ®Þnh cña x vμ m. Ta cÇn t×m ®iÒu 
 kiÖn ®Æt lªn tham sè m ®Ó hÖ (I) (hoÆc hÖ (II) ) tháa m·n mét tÝnh chÊt P nμo ®ã.Ta thùc hiÖn ph−¬ng 
 ph¸p theo c¸c b−íc sau: 
B−íc 1: (§iÒu kiÖn cÇn) Gi¶ sö hÖ (I) (hoÆc (II)) tháa m·n tÝnh chÊt P mμ bμi to¸n y/c. Dùa vμo ®Æc thï cña 
 tÝnh chÊt P vμ d¹ng cña hμm sè f(x, m), cña miÒn x¸c ®Þnh Dx, mμ ta t×m ®−îc mét ®iÒu kiÖn rμng 
 buéc nμo ®ã ®èi víi m. §iÒu kiÖn rμng buéc Êy chÝnh lμ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tháa m·n tÝnh chÊt P vμ gi¶ 
 sö nã cã d¹ng . §iÒu ®ã cã nghÜa lμ: NÕu mm∈Ω ⊂ mD mom ∉Ω th× ch¾c ch¾n øng víi gi¸ trÞ , hÖ om
 (I), (II) kh«ng cã tÝnh chÊt P. 
B−íc 2: (§iÒu kiÖn ®ñ) Gi¶ sö . Ta ph¶i t×m xem trong c¸c gi¸ trÞ Êy cña m, gi¸ trÞ nμo lμm cho hÖ (I) mm∈Ω
 (hoÆc(II)) tháa m·n tÝnh chÊt P. Nãi chung ë b−íc 2, ta chØ ph¶i xÐt c¸c hÖ cô thÓ ( th−êng lμ hÖ kh«ng 
 cã tham sè hoÆc nÕu cã th× hÖ ®· ®¬n gi¶n ®i nhiÒu). Dùa vμo ®Æc tr−ng cña c¸c hÖ Êy, ta vËn dông c¸c 
 kiÕn thøc cÇn thiÕt vÒ lÝ thuyÕt ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh ®Ó gi¶i chóng. KÕt qu¶ cña phÐp gi¶i sÏ 
 cho phÐp ta lo¹i ®i khái tËp c¸c gi¸ trÞ kh«ng thÝch hîp vÒ m. mΩ
 KÕt qu¶ c¶ 2 b−íc, ta t×m ®−îc lêi gi¶i cña bμi to¸n ®· cho. 
 Líp bμi to¸n dïng ®iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ 
D¹ng 1: HÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. 
D¹ng 2: HÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ tÞ cña mét tham sè. 
D¹ng 3: HÖ ph−¬ng tr×nh nghiÖm ®óng x D∀ ∈ . 
D¹ng 4: HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 1 PT hoÆc 1BPT kh¸c.. 
 TÝnh ®èi xøng cña c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch trong viÖc x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cÇn 
C¸c bμi to¸n thuéc môc nμy th−êng cã dÊu hiÖu ®Ó nhËn biÕt sau ®©y: 
1> C¸c biÓu thøc gi¶i tÝch cã tÝnh ®èi xøng theo mét biÕn, hoÆc 1 tËp hîp biÕn. 
VÝ dô: * Bμi to¸n cã d¹ng: F(x, y, m) = 0 ( hoÆc F(x, y,m) 0) trong ®ã biÓu thøc F(x, y, m) kh«ng thay ≥
 ®æi gi¸ trÞ khi ta ®æi vÞ trÝ cña x vμ y hoÆc khi ®ång thêi thay x b»ng –y, y b»ng –x, hoÆc kh«ng 
 thay ®æi khi thay x b»ng –x, hoÆc y b»ng –y. Dùa vμo tÝnh ®èi xøng, ch½n, ®¸nh gi¸, 
 2> Trong c¸c bμi to¸n Êy cã yªu cÇu t×m ®iÒu kiÖn ®Ó nghiÖm t×m ®−îc cã tÝnh duy nhÊt. Víi nh÷ng 
 lo¹i bμi to¸n nãi trªn ta th−êng sö dông l−îc ®å sau ®©y ®Ó t×m ®iÒu kiÖn cÇn. 
• Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( ®−îc biÓu diÔn b»ng ®iÓn M). Do biÓu thøc gi¶i tÝch lμ ®èi xøng nªn 
 hÖ cßn cã 1 nghiÖm mμ nã ®−îc biÓu diÔn b»ng ®iÓm M1. §iÓm M nμy ®èi xøng víi ®iÓm M1 theo 
 nghÜa ®èi xøng cña biÓu thøc gi¶i tÝch. MÆt kh¸c do tÝnh duy nhÊt cña nghiÖm nªm M trïng M1 . Tõ 
 ®iÒu kiÖn nμy ta sÏ t×m ®−îc ®iÒu cÇn ®Ó bμi to¸n cã nghiÖm duy nhÊt. 
 3> HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng: t−¬ng ®−¬ng víi mét trong c¸c hÖ sau ®©y: 1 2
1 2
( ) ( ) (1)
( ) ( ) (2)
F x F x
G x G x
=⎧⎨ =⎩
 hoÆc 1 2
1 1 2 2
( ) ( ) (1)
( ) ( ) ( ) ( ) (3)
F x F x
F x G x F x G x
=⎧⎨ ± = ±⎩
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) (4)
( ) ( ) ( ) ( ) (5)
F x G x F x G x
F x G x F x G x
+ = +⎧⎨ − = −⎩
 L−u ý : §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )F x G x F x G x± = ± cã nghiÖm chØ lμ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ (I) 
 (II) cã nghiÖm. 
 4> Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm liªn tñctªn miÒn D. ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y: 
 MÖnh ®Ò 1: HÖ ph−¬ng tr×nh : 
( )f x a
x D
=⎧⎨ ∈⎩ cã nghiÖm khi vμ chØ khi m = min f(x) max f(x) =M. a≤ ≤
 MÖnh ®Ò 2: Gi¶ sö D =[b,c]. NÕu f(b).f(c) < 0 th× ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm trªn [b;c] 
 MÖnh ®Ò 3: a) M a lμ ®k cÇn vμ ®ñ ®Ó hÖ bÊt PT sau cã nghiÖm ≥ ( )f x a
x D
≥⎧⎨ ∈⎩ 
 b) m a lμ ®k cÇn vμ ®ñ ®Ó hÖ bÊt PT ≥ ( )f x a≥ nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc D. 
 MÖnh ®Ò 4: a) m β≤ lμ ®k cÇn vμ ®ñ ®Ó hÖ bÊt PT sau cã nghiÖm ( )f x
x D
β≤⎧⎨ ∈⎩ 
 b) M β≤ lμ ®k cÇn vμ ®ñ ®Ó hÖ bÊt PT f(x) β≤ nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc D. 
 MÖnh ®Ò 5: XÐt hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh
( ) ( )(1)
(2)
f x g x
x D
≤⎧⎨ ∈⎩ 
 NÕu max f(x) min g(x), th× hÖ trªn tháa m·n víi mäi x thuéc D. ≤
 MÖnh ®Ò 6: Cho PT: f(x) = g(x) víi x thuéc D. Gi¶ sö trªn D hμm f(x) lu«n ®ång biÕn, cßn hμm g(x) lu«n 
 nghÞch biÕn. Khi ®ã nÕu PT trªn cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lμ duy nhÊt. 
 D¹ng 1: HÖ ch½n ®èi víi mét Èn 
A. §Þnh nghÜa: HÖ ch½n ®èi víi mét Èn lμ hÖ mμ khi ®æi dÊu Èn nμy th× hÖ kh«ng thay ®æi. NÕu hÖ nμy cã 
 nghiÖm duy nhÊt th× Èn nμy chØ cã thÓ nhËn gi¸ trÞ 0. 
B. Ph−¬ng ph¸p chung. C©u hái th−êng ®Æt ra lμ: 
 “T×m ®iÒu kiÖn cñ©tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt” 
B−íc 1: §K cÇn: Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm (x; y) th× (-x; y) còng lμ nghiÖm cña hÖ . Do ®ã hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 
 khi x= -x ⇔ x=0. Thay x= 0 vμo hÖ ta ®ù«c gi¸ trÞ cña tham sè. §ã chÝnh lμ ®k cÇn ®Ó hÖ cã 
 nghiÖm. 
B−íc 2: §K ®ñ: thay gi¸ trÞ cña tham sè vμo hÖ, gi¶i hÖ. NhËn xÐt vμ kÕt luËn. 
C. Bμi tËp: T×m ®k cña tham sè ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. 
1> 2> 
2 2 5
cos 2
x y m
y x
⎧ + = −⎨ + =⎩
4 2sin 1
( 1) cos
x y
x a y x
⎧ + =⎪⎨ + = +⎪⎩
 3> 
2
2
sin 2 1
tan 6 2 2
ax x a y
x y
⎧ + + = +⎪⎨ + =⎪⎩
 4> 
2
2 2
1 sin
tan 1
ax a y x
x y
⎧ + − = −⎪⎨ + =⎪⎩
5> 
2sin 1
( 1) cos
x y
x a y x
⎧ + =⎪⎨ + = +⎪⎩
 6> 
2
2 2
cos
sin 1
ax a y x
x y
⎧ + = +⎪⎨ + =⎪⎩
7>
2
2 2 2
( )xy x y z a
x y z a
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 8> 
2
2 2
2
1
x x y x a
x y
⎧ + = + +⎪⎨ + =⎪⎩
9> 
2 2
2 2 ( 1x y y x m
x y m
⎧ − = − +⎪⎨ + =⎪⎩
)
10>
2
2 2
3
5 5
x y a
3y x x
⎧ + + =⎪⎨ + + = + + −⎪⎩ a
11>
2
2
2
2 2 2
x y a
y x a
⎧ + + =⎪⎨ + + = −⎪⎩
12> 13>
2 2 2
2
4x y z
xyz z a
xyz z b
⎧ + + =⎪ + =⎨⎪ + =⎩
2
2
2
3 1 1
1
1
x a y
x y a
y y
⎧ − + =⎪⎨ + + =⎪ + +⎩
14>
2 2
1
1
0
y
y
x y b
x a
x
x
⎧ + =⎪ −⎪ =⎨ +⎪⎪ >⎩
 D¹ng 2: HÖ cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña mét tham sè 
D¹ng c©u hái: Th«ng th−êng hÖ nμy cã 2 tham sè: “ T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè thø nh©t sao cho hÖ cã 
 nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè thø hai ”. 
A- Ph−¬ng ph¸p chung: 
• §iÒu kiÖn cÇn: V× PT ( hoÆc BPT ) ®· cho ®óng víi x M∀ ∈ , nªn khi thÕ 1 gi¸ trÞ cô thÓ nμo ®ã tõ 
tËp M ta ®−îc c¸c gi¸ trÞ cña tham sè mμ trong ®ã nhÊt ®Þnh chøa c¸c gi¸ trÞ cÇn thiÕt. Chän mét 
hoÆc nhiÒu gi¸ trÞ ®Æc biÖt cña tham sè thø 2, ®Ó hÖ cã d¹ng ®¬n gi¶n, tõ ®ã ®−îc suy ra ®k cÇn ®èi 
víi tham sè thø nhÊt. 
• §K ®ñ: Víi tham sè võa t×m ®−îc sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i hoÆc thay vμo hÖ ®Ó gi¶i, nhËn xÐt vμ 
kÕt luËn. 
• Chó ý: Tr«ng b−íc t×m ®k cÇn viÖc chän 1 hoÆc nhiÒu gi¸ trÞ ®Æc biÖt cña tham sè thø 2 ®Ó t×m ®k 
 cÇn s¸t nhÊt c¸c em biÕt tíi kh¸i niÖm ®iÓm thuËn lîi cïng víi kinh nghiÖm ®Ó t×m chóng. 
B. Bμi tËp: 
 1> T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm víi mäi b: 
2 2
2
( 1) ( 1)
1
a yx b
a bxy x y
⎧ 2+ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
2>T×m b sao cho víi mäi a, hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: 2
2
(1 )
x ay b
ax b y b
+ =⎧⎨ + − =⎩
3> T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm víi mäi b: 
2 2
3 3
2 ( 1)
( 1) 1
bx a by a
a x y
⎧ + + =⎪⎨ − + =⎪⎩
4> Cho hÖ PT: . BiÕt r»ng hÖ PT cã nghiÖm víi mäi b. CMR: a = 0. 
2 2( )aa x y x y b
y x b
⎧ + + + =⎪⎨ − =⎪⎩
5> T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm víi mäi b: 
2 22 1 (a-1)by 1
1 0
x b x
ax bx
⎧ − − − = −⎪⎨ + − =⎪⎩
6> T×m a ®Ó hÖ : 
3 3
3 2 2
1 ( 1)
2
1
x ay a
x ax y xy
⎧ − = +⎪⎨⎪ + + =⎩
2
b
 cã nghiÖm vμ víi mäi nghiÖm cña nã ®Òu tháa m·n hÖ thøc: x+y=0. 
7> T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm víi mäi b: 
2 2
.2 2 ( 1)
(2 ) 1
ax bxb a
a x y
⎧ + = +⎪⎨ − + =⎪⎩
8> T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm víi mäi b: 
5 5
3 2
( 1) 1
( 1)bx
a x y
e a by a
⎧ − + =⎪⎨ + + =⎪⎩
D¹ng 3: HÖ dùa vμo sù ®¸nh gi¸ mét Èn 
A - Ph−¬ng ph¸p: §Ó gi¶i lo¹i hÖ nμy ta ®i ®¸nh gi¸ mét Èn b»ng c¸ch t×n ®k ®èi víi Èn nμy ®Ó tån t¹i c¸c 
 Èn kh¸c. §Ó t×m ®k th−êng coi 1 Èn lμ tham sè cña PT bËc 2. Tõ ®ã ta t×m ®−îc gi¸ trÞ 
 cña nã råi suy ra gi¸ trÞ cña c¸c Èn cßn l¹i 
B. Bμi tËp: Gi¶i c¸c hÖ sau: 
1> 2>
2 2 2
2 2
1
2 2 2 1
x y z
x y xy yz xz
⎧ + + =⎪⎨ + − + − + =⎪⎩ 0
2 2 2
2 2
2 3
2 1
x y z xy xz zy
x y xy yz xz
⎧ + + + − − =⎪⎨ + − + − = −⎪⎩
3> 4>
3
2 2
2 (3 )
(2 )( 2) 9 4
4
0
y x
z y y y
x z x
z
⎧ + = −⎪ − + = +⎪⎨ + =⎪⎪ ≥⎩
3 2 2
2 2
(2 )(3 2 ) 3
3 3
6
3
2
x x z
y y x x
y z z
z
z− − = −⎧⎪ + = − +⎪⎨ + =⎪⎪ ≤⎩
 5> 
3
2 2
3 2 (3 )
4 8
(2 )( 3) 5 16
0
y x
z y y
z x x x
z
⎧ − = +⎪ + =⎪⎨ − + = +⎪⎪ ≥⎩
 VÊn ®Ò 4: HÖ ph−¬ng tr×nh kh¸c 
 A - HÖ ph−¬ng tr×nh kh¸c kh«ng chøa tham sè 
 Gi¶i hÖ 
 1) 2)
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8
x y x y
x y x y
⎧ + − + =⎪⎨ − − − =⎪⎩ 3
02 22 3
| | | | 2
⎧ + − =⎨ + = −⎩
x xy y
x x y y
 3)
2
4
0
xx y
y
x xy y
⎧ + + =⎪⎨⎪ + − =⎩
 4) 
2 2 2
2 2 2 2
3 2x y xy x y
x y xy x y
⎧ + + =⎪⎨ + − =⎪⎩
5) 6)
1
4
9
x xy y
y yz z
z zx x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
16
3
9
2
xxy
y
yxy
x
⎧ − =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩
 7)
9
27
1 1 1 1
x y z
xy yz zx
x y z
⎧⎪ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪⎪ + + =⎪⎩
 8)
3 3 3
2
2
1 2
2
x y y
x x
y y
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
9) 10) 11) 12) 
2
2
4 2
2 2
x xy
y xy
⎧ + =⎪⎨ + = −⎪⎩
3
3
6
3 3
5 5
2 ( ) 6
30 32
x y xy x y
x y xy
⎧ + + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
( ) 30
( ) 120
x y xy
x y xy
− =⎧⎨ + =⎩
2
2 2
3 4 2 6
4 4 12
x y xy
x y x y
⎧ + + = −⎪⎨ + + + =⎪⎩
13) 14) 
3 3 9
( )
x y
x y xy
⎧ + =⎨ + =⎩
( 2 ) 2
(2 ) 2
x y xy y x
xy xy y x
+ = +⎧⎨ + = +⎩ 15) 
2 2 3
3 5
x y x y
x y xy
⎧ 6+ + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 16)
3 3
3 3
2 2
2 2
x y y x
x y y
⎧ + = +⎪⎨ + = +⎪⎩ x
17)
2 2
2
4
2 9 7 5
x y x y
x xy x y
⎧ + + + =⎪⎨ + + = +⎪⎩
 B - HÖ ph−¬ng tr×nh kh¸c chøa tham sè 
1> Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: a. Gi¶i hÖ víi m=4 2( 1) ( 2
x y m
x y xy m y
+ =⎧⎨ + + =