Các phương pháp giải Hệ phương trình lượng giác

(2)
2 2
+ −⎧ =⎪⎪⇔ ⎨ + −⎪ =⎪⎩
Laáy (1) chia cho (2) ta ñöôïc: 
 +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
x y x ytg 1 (do cos 0
2 2
− = khoâng laø nghieäm cuûa (1) vaø (2) ) 
 2 4
2 2
2 2
+ π⇔ = + π
π π⇔ + = + π⇔ = − + π
x y k
x y k y x k
thay vaøo (1) ta ñöôïc: sin x sin x k2 2
2
π⎛ ⎞+ − + π =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 sin x cosx 2⇔ + = 
2 cos 2
4
2 ,
4
π⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ − = π ∈
=

x
x h h
Do ñoù: heä ñaõ cho 
( )
2 ,
4
2 , ,
4
π⎧ = + π ∈⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = + − π ∈⎪⎩


x h h
y k h k h
Caùch 2: Ta coù 
A B A C B
C D A C B D
= + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − =⎩ ⎩
D+
− 
Heä ñaõ cho 
( ) ( )
( ) ( )
⎧ − + − =⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎩
⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2 sin x 2 sin y 0
4 4
2 sin x 2 sin y 2 2
4 4
sin sin 0
4 4
sin sin 0
4 4
sin 1
4
sin sin 2
4 4
sin 1
4
2
4 2
2
4 2
sin sin 0
4 4
x y
x y
x
x y
y
x k
y h
x y
⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎧ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ ⇔ + =⎨ ⎨ ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎩ + =⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩
⎧ π π+ = + π⎪⎪ π π⎪⇔ + = + π⎨⎪⎪ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
π⎧ = + π⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩
x k2
4
y h2 , h, k
4
Z
Baøi 176: Giaûi heä phöông trình: 
− − =⎧⎪⎨ + = −⎪⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos 2y 3 cos 2x 1 (2)
Ta coù: tgx tgy 1 tgxtgy− = + 
( )
2
1 tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1 tgxtgy 0
1 tg x 0 (VN)
⎧ + =− =⎧⎪ ⎪⇔ ∨ − =⎨ ⎨+ ≠⎪⎩ ⎪ + =⎩
 (x y k k Z
4
π⇔ − = + π ∈ ) , vôùi x, y k
2
π≠ + π 
 x y k
4
π⇔ = + + π, vôùi x, y k
2
π≠ + π 
Thay vaøo (2) ta ñöôïc: cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π⎛ ⎞+ + + π = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
cos 2 3 s 2 1
3 1 1s 2 cos 2 sin 2
2 2 2 6
y in y
in y y y
⇔ − = −
π⎛ ⎞⇔ − = ⇔ −⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
= 
 ( )52 2 2 2
6 6 6 6
y h hay y h h Zπ π π π⇔ − = + π − = + π ∈ 
 , ,
6 2
( loïai)y h h hay y h hπ π⇔ = + π ∈ = + π ∈  
Do ñoù: 
Heä ñaõ cho 
( ) ( )
5
6 ,
6
x k h
h k Z
y h
π⎧ = + + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = + π⎪⎩
Baøi 177: Giaûi heä phöông trình 
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)
⎧ − + =⎪⎨ − + =⎪⎩
Laáy (1) + (2) ta ñöôïc: 3 3sin x cos x 0+ = 
3 3
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
x k (k
4
⇔ = −
⇔ = −
⇔ = −
π⇔ = − + π ∈ Z)
Thay vaøo (1) ta ñöôïc: ( )3 2sin y cos x cos x cos x 1 cos x= − = − 
 = =2 1cos x.sin x sin 2x sin x
2
 π π⎛ ⎞ ⎛= − − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1 sin sin k
2 2 4
⎞π⎟⎠ 
 π⎛ ⎞= − − + π⎜ ⎟⎝ ⎠
1 sin k
2 4
⎧⎪⎪= ⎨⎪−⎪⎩
2 (neáu k chaün)
4
2 (neáu k leû)
4
 Ñaët 2sin
4
α = (vôùi 0 2< α < π ) 
Vaäy nghieäm heä 
( )π π⎧ ⎧= − + π ∈ = − + + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪∨⎨ ⎨= α + π ∈ = −α + π ∈⎡ ⎡⎪ ⎪⎢ ⎢⎪ ⎪= π − α + π ∈ = π + α + π ∈⎣ ⎣⎩ ⎩
 
 
 
x 2m , m x 2m 1 , m
4 4
y h2 , h y 2h , h
y h2 , h y h2 , h
II. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP COÄNG 
Baøi 178: Giaûi heä phöông trình: 
( )
( )
1sin x.cos y 1
2
tgx.cotgy 1 2
⎧ = −⎪⎨⎪ =⎩
Ñieàu kieän: cos x.sin y 0≠ 
Caùch 1: Heä ñaõ cho 
( ) ( )1 1sin x y sin x y
2 2
sin x.cos y 1 0
cos x.sin y
⎧ + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⇔ ⎨⎪ − =⎪⎩
−
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ + − =⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
−
+ + − =⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0
− 
( )
( )
+ = −⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩
π⎧ + = − + π ∈⎪⇔ ⎨⎪ − = π ∈⎩


sin x y 1
sin x y 0
x y k2 , k
2
x y h , h
( )
( )
π π⎧ = − + + ∈⎪⎪⇔ ⎨ π π⎪ = − + − ∈⎪⎩
≠


x 2k h , k, h
4 2
y 2k h , k, h
4 2
(nhaän do sin y cos x 0)
Caùch 2: ( ) sin x cos y2 1
cos xsin y
⇔ = ⇔ =sin x cos y cos x sin y 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (
( ) ( ) (
1sin cos 3
2
1cos sin 4
2
sin 1 3 4
sin 0 3 4
Theá 1 vaøo 2 ta ñöôïc:
x y
x y
x y
x y
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩
+ = − +⎧⎪⇔ ⎨ − = −⎪⎩
)
) 
2 ,
2
,
x y k k
x y h h
π⎧ + = − + π ∈⎪⇔ ⎨⎪ − = π ∈⎩


( )
( )
( )
2
4 2 ,
2
4 2
x k h
h k Z
y k h
π π⎧ = − + +⎪⎪⇔ ∈⎨ π π⎪ = − + −⎪⎩
III. GIAÛI HEÄ BAÈNG AÅN PHUÏ 
Baøi 179: Giaûi heä phöông trình: 
( )
( )
2 3 1
3
2 3cotg cotg 2
3
tgx tgy
x y
⎧ + =⎪⎪⎨ −⎪ + =⎪⎩
Ñaët = =X tgx, Y tgy 
Heä ñaõ cho thaønh: 
2 3 2 3X Y X Y
3 3
1 1 2 3 Y X 2 3
X Y 3 YX
⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ +⎪ ⎪+ = − = −⎪ ⎪⎩ ⎩ 3
2
2 3X Y2 3X Y 3
3
2 3XY 1 X X 1 0
3
X 3 3X
33Y Y 33
⎧⎧ + =⎪+ =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= − − − =⎩ ⎪⎩
⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩
 Do ñoù: 
Heä ñaõ cho : 
tgx 3 3tgx
33tgy tgy 33
⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩
, ,
3 6
, ,
6 3
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= − + π ∈ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩
 
 
x k k x k k
y h h y h h
Baøi 180: Cho heä phöông trình: 
1sin x sin y
2
cos2x cos2y m
⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩
 a/ Giaûi heä phöông trình khi 1m
2
= − 
 b/ Tìm m ñeå heä coù nghieäm. 
Heä ñaõ cho ( ) ( )2 2
1sin x sin y
2
1 2sin x 1 2sin y m
⎧ + =⎪⇔ ⎨⎪ − + −⎩ =
( )
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨ −⎪ + =⎪⎩
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ + − = −⎪⎩
2 2
2
1sin x sin y
2
2 msin x sin y
2
1sin x sin y
2
msin x sin y 2sin xsin y 1
2
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ − =⎪⎩
1sin x sin y
2
1 m2sin xsin y 1
4 2
−
⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = − +⎪⎩
1sin x sin y
2
3 msin xsin y
8 4
Ñaët X sin x,Y sin y vôùi X , Y 1= = ≤ 
thì X, Y laø nghieäm cuûa heä phöông trình 
( )2 1 m 3t t 0
2 4 8
− + − = * 
a/ ( )= − 1Khim thì * thaønh :
2
 − − =
⇔ − − =
⇔ = ∨ = −
2
2
1 1t t 0
2 2
2t t 1 0
1t 1 t
2
Vaäy heä ñaõ cho 
sin x 1 1sin x
21sin y sin y 12
=⎧ ⎧ = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩
2 , ( 1) ,
2 6
( 1) , 2 ,
6 2
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= − − + π ∈ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩
 
 
h
h
x k k x h h
y h h y k k
b/ Ta coù : ( ) 2m 1* t
4 2
⇔ = − + + 3t
8
Xeùt ( ) [ ]2 1 3y t t C treânD 1,1
2 8
= − + + = − 
thì: 1y ' 2t
2
= − + 
 1y ' 0 t
4
= ⇔ = 
Heä ñaõ cho coù nghieäm ( ) [ ]* coù 2 nghieäm treân -1,1⇔ 
 ( ) md y
4
⇔ = caét (C) taïi 2 ñieåm hoặc tiếp xúc [ ]treân -1,1 
⇔ − ≤ ≤
⇔ − ≤ ≤
1 m 7
8 4 16
1 7m
2 4
Caùch khaùc 
2( ) 8 4 3 2 0⇔ = − − + =ycbt f t t t m coù 2 nghieäm t1 , t2 thoûa 
1 21 1⇔ − ≤ ≤ ≤t t 
/ 28 16 0
(1) 1 2 0
( 1) 9 2 0
11 1
2 4
⎧Δ = − ≥⎪ = + ≥⎪⎪⇔ ⎨ − = + ≥⎪⎪− ≤ = ≤⎪⎩
m
af m
af m
S
1 7
2 4
⇔ − ≤ ≤m 
Baøi 181: Cho heä phöông trình: 
2
2
sin x mtgy m
tg y msin x m
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
 a/ Giaûi heä khi m = -4 
 b/ Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä coù nghieäm. 
Ñaët X sin x= vôùi X 1≤ 
 Y tgy=
Heä thaønh: 
( )
( )
2
2
X mY m 1
Y mX m 2
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
Laáy (1) – (2) ta ñöôïc: ( )2 2X Y m Y X 0− + − = 
 ( ) ( )X Y X Y m 0
X Y Y m X
⇔ − + − =
⇔ = ∨ = − 
Heä thaønh ( )22
= −= ⎧⎧ ⎪⎨ ⎨ + − =+ = ⎪⎩ ⎩
Y m XX Y
hay
X m m X mX mX m
 ( ) ( )2 2 2
X Y Y m X
X mX m 0 * X mX m m 0 * *
= = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨+ − = − + − =⎪ ⎪⎩ ⎩
a/Khi m = -4 ta ñöôïc heä 
( )
( )
22
Y 4 XX Y
X 4X 20 0 voâ nghieämX 4X 4 0
X 2 loaïido X 1
Y 2
= − −= ⎧⎧ ⎪∨⎨ ⎨ + + =− + = ⎪⎩ ⎩
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
Vaäy heä ñaõ cho voâ nghieäm khi m = 4. 
b/ Ta coù (*) 2X mX m 0 vôùi X 1⇔ + − = ≤ 
( )
( )
2
2
X m 1 X
X m domkhoâng laø nghieämcuûa *
1 X
⇔ = −
⇔ =−
Xeùt [ ) ( )
2 2
2
X X 2XZ treân 1,1 Z'
1 X 1 X
− += − ⇒ =− − ; 
Z' 0 X 0 X 2= ⇔ = ∨ = 
Do ñoù heä 
( )
2
X Y X 1
X mX m 0
⎧ = ≤⎪⎨ + − =⎪⎩
coù nghieäm m 0⇔ ≥ 
Xeùt (**): 2 2X mX m m 0− + − = 
Ta coù ( )2 2 2m 4 m m 3m 4mΔ = − − = − +
 40 0 m
3
Δ ≥ ⇔ ≤ ≤ 
Keát luaän: Khi m thì (I) coù nghieäm neân heä ñaõ cho coù nghieäm 0≥
  Khi < thì (I) voâ nghieäm maø (**) cuøng voâ nghieäm m 0
 Δ(do < 0) neân heä ñaõ cho voâ nghieäm 
 Do ñoù: Heä coù nghieäm m 0⇔ ≥ 
Caùch khaùc 
Heä coù nghieäm (*)hay ⇔ = + − =2f (X) X mX m 0
 (**) coù nghieäm treân [-1,1] = − + − =2 2g(X) X mX m m 0
 ( 1) (1) 0f f⇔ − ≤
2
1 4 0
(1) 0
( 1) 0
1 1
2 2
m m
af
hay af
mS
⎧Δ = + ≥⎪ ≥⎪⎪⎨ − ≥⎪ −⎪− ≤ = ≤⎪⎩
hay ( 1) (1) 0g g− ≤
2
2
2
2
3 4
( 1) 1 0
( 1) ( 1) 0
1 1
2 2
m m
ag m
hay ag m
S m
⎧Δ = − + ≥⎪ 0− = + ≥⎪⎪⎨ = − ≥⎪⎪− ≤ = ≤⎪⎩
1 2 0m⇔ − ≤
2
1 4 0
1 2 0
2 2
m m
hay m
m
⎧Δ = + ≥⎪ − ≥⎨⎪− ≤ ≤⎩
hay m = 1 hay ≤ ≤ 40 m
3
m 0⇔ ≥ 
IV. HEÄ KHOÂNG MAÃU MÖÏC 
Baøi 182: Giaûi heä phöông trình: 
⎧ π⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝⎨ π⎛ ⎞⎪ + ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
tgx cotgx =2sin y + (1)
4
tgy cotgy =2sin x - (2)
4
⎠ 
Caùch 1: 
Ta coù: 
2 2sin cos sin cos 2tg cotg =
cos sin sin cos sin2
α α α + αα + α + = =α α α α α 
Vaäy heä ñaõ cho 
⎧ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
1 sin y (1)
sin 2x 4
1 sin x (2)
sin 2y 4
⎧ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
1 sin 2x sin y (1)
4
1 sin 2y.sin x (2)
4
⎠ 
Ta coù: (1)
= =⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩
sin 2x 1 sin 2x 1
sin y 1 sin y 1
4 4
−
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩
 
 
x k , k x k , k
4 4
3y h2 , h y h2 , h
4 4
Thay 
π⎧ = + π ∈⎪⎪⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩


x k , k
4
y h2 , h
4
 vaøo (2) ta ñöôïc 
sin2y.sin x sin .sin k 0 1
4 2
π π⎛ ⎞− = π = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ (loaïi) 
Thay 
−π⎧ = + π ∈⎪⎪⎨ π⎪ = − + π ∈⎪⎩


x k , k
4
3y h2 , h
4
 vaøo (2) ta ñöôïc 
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = − − + π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
3sin 2y.sin x sin sin k
4 2 2
⎞⎟⎠ 
⎧π⎛ ⎞= − + π = ⎨⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎩
1 ( neáu k leû)
sin k
2 1 (neáu k chaün)
 Do ñoù heä coù nghieäm 
( ) ( )
π⎧ = − + + π⎪⎪ ∈ •⎨ π⎪ = − + π⎪⎩
x 2m 1
4 m,h Z
3y h2
4
Caùch 2: 
Do baát ñaúng thöùc Cauchy 
tgx cotgx 2+ ≥ 
daáu = xaûy ra 1tgx cotgx tgx=
tgx
⇔ = ⇔ 
tgx 1⇔ = ± 
Do ñoù: 
tgx+cotgx 2 2sin y
4
π⎛ ⎞≥ ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Daáu = taïi (1) chæ xaûy ra khi 
= = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩
 
 
tgx 1 tgx 1
sin y 1 sin y 1
4 4
x k , k x k , k
4 4(I) (II)
3y h2 , h y h2 , h
4 4
thay (I) vaøo (2): π⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠tgy cotgy=2sin x - 4 
ta thaáy khoâng thoûa 2 2sink 0= π =
thay (II) vaøo (2) ta thaáy π⎛ ⎞= − + π⎜ ⎟⎝ ⎠2 2sin k2 
chæ thoûa khi k leû 
Vaäy: heä ñaõ cho 
( )π⎧ = − + + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = − + π⎪⎩

x 2m 1
4 , m, h
3y 2h
4
Baøi 183: Cho heä phöông trình: 
 ( ) 2
x y m (1)
2 cos2x cos2y 1 4 cos m 0 (2)
− =⎧⎪⎨ + − − =⎪⎩
 Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieäm. 
Heä ñaõ cho ( ) ( ) 2
x y m
4cos x y cos x y 1 4 cos m
− =⎧⎪⇔ ⎨ + − = +⎪⎩
( )
( ) ( )
( ) ( )
− =⎧⎪⇔ ⎨− + + + =⎪⎩
− =⎧⎪⇔ ⎨ − + + − +⎪⎩
− =⎧⎪⇔ ⎨ − + + + =⎪⎩
2
2 2
2 2
x y m
4 cos x y cos m 4 cos m 1 0
x y m
[2 cos m cos x y ] 1 cos x y 0
x y m
[2 cos m cos