Các dạng bài tập về Hàm số bậc ba

Cùc trÞ hµm bËc ba
I.Tãm t¾t lý thuyÕt:
 1.Hµm sè ()
 2.§¹o hµm : 
 3.§iỊu kiƯn tån t¹i cùc trÞ
 Hµm sè cã cùc trÞ cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
 4.Kü n¨ng tÝnh nhanh cùc trÞ:
 B­íc1:Thùc hiƯn phÐp chia cho ta cã:
 Tøc lµ:
 B­íc 2:Do nªn 
.HƯ qu¶:§­êng th¼ng ®i qua C§,CT cã ph­¬ng tr×nh lµ:
 hay 
II.C¸c d¹ng bµi tËp:
D¹ng 1:Sù tån t¹i vµ vÞ trÝ cđa c¸c ®iĨm cùc trÞ:
Bµi 1:T×m m ®Ĩ hµm sè : cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu
Gi¶i:Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt 
cã hai nghiƯm ph©nbiƯt 
Bµi 2:T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu
Gi¶i: 
Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt cã hai nghiƯm ph©n biƯt
Bµi 3:T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2 tháa m·n ®iỊu kiƯn x1<-1<x2
Gi¶i: yªu cÇu bµi to¸n cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 tháa m·n ®iỊu kiƯn x1<-1<x2
Bµi 4:T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2 tháa m·n ®iỊu kiƯn -1<x1<<x2
Gi¶i: yªu cÇu bµi to¸n cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 tháa m·n ®iỊu kiƯn -1<x1<x2 
Bµi 5: T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc tiĨu t¹i x=2.
Gi¶i: 
*§iỊu kiƯn cÇn:
Gi¶ sư hµm sè ®¹t cùc tiĨu t¹i x=-2 suy ra ta cã suy ra 
*§iỊu kiƯn ®đ:
NÕu m=3 th× 
NÕu m=1 th× nh­ng lĩc ®ã ta cã 
Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ
*KÕt luËn:m=3
D¹ng 2:ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiĨu
Bµi 1:T×m cùc trÞ vµ viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i,cùc tiĨu cđa hµm sè 
Gi¶i:
.Ta cã 
suy ra hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2
.Thùc hiƯn phÐp chia cho ta cã do 
nªn 
.
.Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua C§,CT lµ 
Bµi 2:T×m m ®Ĩ hµm sè cã ®­êng th¼ng®i qua C§,CT song song víi ®­êng th¼ng 
Gi¶i:
.§¹o hµm 
hµm sè cã C§,CT cã hai nghiƯm ph©n biƯt
.Thùc hiƯn phÐp chia cho ta cã 
Víi th× cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2
do nªn 
suy ra ®­êng th¼ng qua C§,CT lµ():
 ta cã () song song víi ®­êng 
vËy nÕu th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th× 
Bµi 3: T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu n»m trªn ®­êng th¼ng 
Gi¶i:
.§¹o hµm 
hµm sè cã C§,CT cã hai nghiƯm ph©n biƯt
.Thùc hiƯn phÐp chia cho ta cã 
Víi th× cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2
do nªn 
suy ra ®­êng th¼ng qua C§,CT lµ():
Ta cã C§,CT n»m trªn ®­êng th¼ng 
Bµi 4: T×m m ®Ĩ hµm sè cã ®­êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc tiĨu vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
Gi¶i:
Hµm sè cã C§,CT cã hai nghiƯm ph©n biƯt
.Thùc hiƯn phÐp chia cho ta cã 
Víi th× cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2
do nªn 
suy ra ®­êng th¼ng qua C§,CT lµ():
ta cã () vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
D¹ng 3:sư dơng ®Þnh lý viÐt cho c¸c ®iĨm cùc trÞ
Bµi 1:Cho 
1.CMR:hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu.
2.Gi¶ sư hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2.CMR:x1+x2
Gi¶i:
1.XÐt ph­¬ng tr×nh:
Ta cã 
NÕu th× v«lý
Tõ ®ã suy ra cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1,x2.
2.Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã
Suy ra x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=
Khi ®ã B§T:x1+x2 lu«n ®ĩng
Bµi 2: Cho 
1.T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu.
2.T×m m ®Ĩ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i Ýt nhÊt 1 ®iĨm >1.
3.Gäi c¸c ®iĨm cùc trÞ lµ x1,x2.t×m max cđa A=
Gi¶i:
§¹o hµm 
1.-5<m<-1
2.hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i Ýt nhÊt 1 ®iĨm >1 cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 tháa m·n
3.Theo ®Þnh lý viÐt ta cã
Khi ®ã A=
Víi m=-4 th× Max A=