Bài tập toán Đại số lớp 11

Chủ đề: QUY TẮC ĐÊM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP

1. Hoán vị

a. Hoán vị là gì?

Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có khả năng xảy ra.

Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách này là một hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu} là {a,b,c} thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị là (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a).

Một cách tổng quát ta có:

 

doc61 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Ngày: 03/05/2019 | Lượt xem: 163 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài tập toán Đại số lớp 11, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ủa 10 phần tử. Do đó ta có số.
Để viết chữ đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ (30 chữ cái được dùng) và 1 số có 4 chữ số (10 chữ số được dùng). Hỏi số tối đa xe hơi có thể đăng ký cho biết không có hai xe hơi nào có số đăng ký giống nhau?
Gọi là một biển số đăng ký.
Có 30 cách chọn 
    30 cách chọn 
    30 cách chọn 
Có  10 cách chọn 
    10 cách chọn 
    10 cách chọn 
    10 cách chọn 
Vậy ta có tối đa triệu chiếc xe hơi có thể đăng ký.
Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 quyển công dân vào một hệ thống theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
Có 4 bộ môn, do đó có 4 cách sắp xếp theo bộ môn. Trong đó có:    cách sắp xếp sách văn.
    cách sắp xếp sách sử
    cách sắp xếp sách địa
    cách sắp xếp sách công dân
Vậy số cách sắp xếp lên kệ là cách (đây là hoán vị có lặp lại).
Cho tập . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ  mà chia hết cho 5?
Gọi là số cần tìm
Vì   chia hết cho 5 nên   hoặc bằng 0 hoặc bằng 5
TH1: là chỉnh hợp 9 chập 4 phần tử nên ta có: số.
TH2:   thì có: 8 cách chọn (vì )
Và   cách chọn 
Vậy ta có số.
Tổng cộng ta có: số.
Gọi (abcde) là số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán.
Vì (abcde) là số chia hết cho 5, nên: e = {0;5}
Khi e = 0 => Có 1 cách chọn e
                           9 cách chọn a
                           8 cách chọn b
                           7 cách chọn c 
                           6 cách chọn d
=> Có 9*8*7*6*1=3024 cách chọn khi e= 0
Khi e = 5 => Có 1 cách chọn e
                           8 cách chọn a
                           8 cách chọn b
                           7 cách chọn c 
                           6 cách chọn d
=> Có 8*8*7*6*1=2688 cách chọn khi e= 5
Vậy ta có 2688 + 3024 = 5712 cách chọn thoả yêu cầu bài toán.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6  ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và trong đó có chữ số 4.
Gọi là số cần lập 
Có 2 trường hợp
•    Nếu   thì có :
        1 cách chọn  
        6 cách chọn  
        5 cách chọn  
        4 cách chọn  
        3 cách chọn  
Vậy trong trường hợp này ta có : số  
•    Nếu   
Có 4 vị trí chữ số 4 trong   
ứng với 1 vị trí của 4 ta có(chẳng hạn   )
        5 cách chọn  (vì )
        1 cách chọn  ( theo ví dụ)
        5 cách chọn  
        4 cách chọn  
        3 cách chọn  
Nên trường hợp này ta có số  
Tổng  cộng hai trường hợp ta có : số  .
Từ các chữ số 1,2,3,4,5  ta có thể thành lập bao nhiêu  số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Trong đó có 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
Gọi là số cần lập 
•    Ta có số các số gồm 5 chữ số được lấy từ 1,2,3,4,5 là số hoán vị của 5 chữ số đã cho nên ta có   số.
•    Ta xét xem có bao nhiêu cách chọn vị trí cho cặp (1,2) đứng cạnh nhau:
Nếu (1,2) ta có 4 cách chọn vị trí  cho cặp {1,2}trong .
Do đó ta có 8 cách chọn cho cặp {1,2} (không kể thứ tự của 1 ,2 ) đứng gần nhau, ứng với mỗi cách chọn cặp {1,2} như thế ta có   cách chọn 3 chứ số còn lại của .
Vậy ta có   số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1,2 đứng cạnh nhau
•    Tóm lại số các số cần lập là số  .
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số ,trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi số khác có mặt đúng 1 lần.
Gọi là số cần lập. Ta có:       
        7 cách chọn  
        7 cách chọn  
        6 cách chọn      
        5 cách chọn  
        4 cách chọn  
        3 cách chọn  
        2 cách chọn  
        1 cách chọn  
Vậy ta có : 
Nhưng cách lập như thế bị lập lại (ví dụ khi ta hoán vị 3 phần tử 1 cho nhau thì không đổi).
Do đó số các số cần lập là số 
Cho tập . Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9
Số tập con của   của chỉ chứa là 
Vậy số tập con của   có chứa số 9 là số các tập   
Vậy số tập con của   có chứa số 9 là    tập con
Giải khác
Số tập con của E có:
       1 phần tử:               tập
       2 phần tử:                tập
       3 phần tử:                tập
           ........                
       10 phần tử:            tập
      Trong đó                 E\9
         +  + ..... + =    = = 512 tập
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.
Ta có :
        9 cách chọn  chữ số thứ nhất  (vì )
        9 cách chọn  chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất đã được chọn)  
        9 cách chọn  chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn)  
        9 cách chọn  chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ ba đã được chọn )  
        9 cách chọn  chữ số thứ  năm (trừ  chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn ) 
(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai)
Vậy ta có số   thoả mãn đề bài.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.
Ta có :
        9 cách chọn  chữ số thứ nhất  (vì )
        9 cách chọn  chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất đã được chọn)  
        9 cách chọn  chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn)  
        9 cách chọn  chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ ba đã được chọn )  
        9 cách chọn  chữ số thứ  năm (trừ  chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn ) 
(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai)
Vậy ta có số   thoả mãn đề bài.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23
Hai chữ số đầu là 23. Vậy chỉ còn chọn 3 chữ số 4,5,1 cho 3 số sau. Như thế có số .
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng là : (23abc)
a có 3 cách chọn 
b có 2 cách chọn 
c có 1 cách chon
Vậy có tất cả : 1*2*3 = 3! = 6 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1
Gọi 
Có :       
        4 cách chọn  
        4 cách chọn  
        3 cách chọn  
        2 cách chọn  
        1 cách chọn  
Vậy có số .
Giải khác
Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau có: 5*4*3*2*1 = 120 số
số mà bắt đầu =1 có:   4! = 24 số
=> số không bắt đầu bởi số 1 là: 120 - 24 = 96
Giải khác
gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập là a1a2a3a4a5
ta có : a1 có 5 cách chọn 
a2 có 4 cách chọn
a3 có 3 cách chọn
a2 có 2 cách chọn
a1 có 1 cách chọn
vậy từ 5 số 1,2,3,4,5 ta lập đc 5! = 120 sô tự nhiên  có 5 chữ số khác nhau
gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ 1 có dạng 1abcd
ta có a có 4 cách chọn 
b có 3 cách chọn
c có 2 cách chọn
và d có 1 cách chọn
suy ra ta sẽ lập đc 4! = 24 số tự nhiên khác nhau  có 5 chữ số bắt đầu bởi chữ số 1
vậy sẽ có 120 - 24 = 96 số tự nhiên có 5 chữ số khac nhau không bắt đầu bởi chữ số 1 từ các chữ số 1,2,3,4,5
Giải khác
Số chữ số có 5 chữ số khác nhau lập được từ 1,2,3,4,5 là :5!=120
Số chữ số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ chữ số 1 là : 4!=24
=>Số chữ số có 5 chữ số khác nhau ko bắt đầu từ chữ số 1 là : 5! - 4! =96
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau,  thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 5.
Chữ  số đầu là 5: nên 4 chữ số còn lại là hoán vị của 4 chữ số 1,2,3,4. Do đó các số tự nhiên này là 
Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 7 được viết từ các chữ số đã cho
Gọi là số cần lập 
Có 4 vị trí cho chữ số 7
ứng với 1 vị trí của 7 ta có chọn 3 trong 6 số còn lại vào 3 vị trí (chính là )
Do đó ta có thể lập được số .
Giải khác
Có cách chọn 4 chữ số khác nhau từ các số trên.
Có cách chọn 4 chữ số khác nhau từ tập trên trong đó không có số 7
=> có số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là một số nhỏ hơn 278
Gọi là số cần lập 
Có hai trường hợp
•    Nếu    thì ta có:
        1 cách chọn 
        4 cách chọn 
        2 cách chọn 
Trường hợp này ta có :  số .(vì )
•    Nếu :  
        có 3 cách chọn 
        có 2 cách chọn 
Suy ra có 6 cách chọn .
•    Nếu :            
        có 2 cách chọn 
        có 1 cách chọn 
Suy ra có 2 cách chọn .
Tóm lai trong trường hợp ta có 8 số 
Cả hai trường hợp có 20 số  
Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Từ các chữ số ta lập được bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một.
Số chia hết cho 5 gồm 3 chữ số có dạng .
•    Với ta có:
    5 cách chọn 
    4 cách chọn 
Vậy ta có số 
•    Với ta có:
    4 cách chọn 
    4 cách chọn 
Vậy ta có số 
Tóm lại có tất cả số có 3 chữ số , chia hết cho 5.
Giải hệ phương trình: 
Ta có: 
.
Điều kiện: .
Giải hệ phương trình  :  
Điều kiện : .
Từ phương trình thứ hai suy ra 
Thay vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp
Đưa về phương trình .
Giải phương trình này và loại , nhận 
Giải phương trình : 
* 
* Phương trình biến đổi thành :
* Do lần lượt kiểm tra từng giá trị: 
* thỏa mãn phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm : .
Giải phương trình : 
Điều kiện : 
Ta có :
So sánh với điều kiện ta có : thỏa mãn .
Giải phương trình : 
Điều kiện : 
Phương trình đã cho 
Vậy phương trình có nghiệm: 
Tìm số tự nhiên n sao cho : 
Điều kiện : 
So với điều kiện ta chọn .
Giải phương trình 
Cách 1:
Đáp số: 
Cách 2:
Ta có: 
với 
.
Giải phương trình: 
Biến đổi ta có: hay: hay: hay x=4.
Vậy phương trình có nghiệm x=4.
Giải phương trình: (1)
Ta có (1): hay: hay: hay: hay x=6.
Vậy phương trình có nghiệm x=6.
Giải phương trình sau: 
ĐK của x:
Thay x=3, x=4, x=5 vào bất phương trình đều thấy thỏa mãn.
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm là {3;4;5}
Giải phương trình: 
đk : 
pt  
      (loại) Vậy nghiệm của pt là 
Giải phương trình : 
Điều kiện 
(vì ) .Vậy nghiệm của phương trì

File đính kèm:

  • docBai tap toan Dai so 11.doc
Giáo án liên quan