Bài tập Toán 11 - Trường THPT Ngô Thời Nhiệm

diện ABCD khi và 
chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 
1. GA GB GC  GD 0+ + + =JJJG JJJG JJJG JJJG G 
2. OA OB OC  OD 4OG+ + + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG với O là một điểm tùy ý. 
Bài 2. Trong không gian cho 4 điểm tùy ý A, B, C, D. Chứng 
minh rằng: AB.DC BC.DA CA.DB 0+ + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R thứ tự là trung 
điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ thứ tự là giao điểm của các 
đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, 
ADD’A’. Chứng minh rằng: 
1. PP ' QQ' RR ' 0+ + =JJJG JJJJG JJJJG G . 
2. Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm. 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tứ 
diện ABCD và tam giác BCD. Chứng minh rằng: A, G, G’ 
thẳng hàng. 
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt 
là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao cho 
KC' 2KB= −JJJJG JJJG . Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng. 
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có 
, ' ,BA a BB b BC c= = =JJJG G JJJG G JJJG G . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên 
AC, DC’ sao cho . , ' '= =JJJJG JJJG JJJJJG JJJJGMC n AC C N mC D . 
1. Hãy phân tích 'BD
JJJJG
 theo các véctơ , ,a b c
G G G
. 
2. Chứng minh rẳng: ( ) (1 )MN m n a m b nc= − + − +JJJJG G G G . 
3. Tìm m, n để MN //BD’. 
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 48 
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi I và I’ lần lượt là 
trung điểm của các cạnh BC và B’C’ 
1. Chứng minh rằng AI // A’I’. 
2. Tìm giao điểm IA’ ∩ (AB’C’). 
3. Tìm giao tuyến của (AB’C’) ∩ (BA’C’). 
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I , K , G lần lượt 
là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Chứng 
minh rằng: 
1. (IKG) // (BB’C’C) 
2. (A’KG) // (AIB’) 
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm 
A’B’ 
1. Chứng minh rằng CB’ // (AHC’) 
2. Tìm giao tuyến d = (AB’C’)∩ (A’BC) . 
Chứng minh rằng: d // (BB’C’C) 
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. 
1. Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’). 
2. Gọi M, N lần lượt là hai điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm 
giao điểm của B’C’ với mp(AA’N ) và giao điểm của MN 
với mp(AB’C’). 
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 
1. Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’) 
2. Tìm các giao điểm I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D∩ (ACD’). 
Chứng minh rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần 
bằng nhau. 
3. Gọi M, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện 
của hình hộp với mặt phẳng (BMN ). 
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 17
CHƯƠNG III. 
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi ∗∈ nn , ta có đẳng thức: 
 1. 
2
)13(13...852 +=−++++ nnn . 
 2. 
6
)12)(1(...321 2222 ++=++++ nnnn . 
 3. 
3
)14()12(...31
2
222 −=−+++ nnn . 
 4. 
3
)12)(1(2)2(...42 222 ++=+++ nnnn 
 5. 
4
)1(...321
22
3333 +=++++ nnn . 
 6. .
3
)1()1()1(...4.33.22.1 +−=−++++ nnnnn 
 7. ).1()13(...5.22.1 2 +=−+++ nnnn 
 8. 
1)1(
1...
3.2
1
2.1
1
+=++++ n
n
nn
 9. 
14)14)(34(
1...
9.5
1
5.1
1
+=+−+++ n
n
nn
 10. 
n
n
n 2
1)11)...(
9
11)(
4
11( 2
+=−−− . 
Bài 2. Chứng minh rằng với ∗∈ nn , ta có: 
 1. nnn 53 23 ++ chia hết cho 3. 
 2. )132( 2 +− nnn chia hết cho 6. 
 3. 1154 −+ nn chia hết cho 9. 
 4. nn −5 chia hết cho 30. 
 5. 133 115 ++ + nn chia hết cho 17. 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 18 
Bài 3. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1.Hãy chứng minh bất 
đẳng thức 
24
13
2
1...
2
1
1
1 >+++++ nnn 
Bài 4. Chứng minh với mọi số tự nhiên 2≥n , ta có các bất 
đẳng thức sau: 
 1. 133 +> nn 
 2. 
2
32 >− nn 
 3. 322 1 +>+ nn 
Bài 5. Chứng minh với mọi số tự nhiên 3≥n , ta có: 
122 +> nn 
DÃY SỐ 
Bài 1. Xét tính đơn điệu các dãy số sau : 
 1. 2
1
1n
u
n
= + 2. 12
3
+= n
n
nu 
 3. 1
2
n
nu
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 4. nnun −+= 1 . 
 5. 2 1
2
n
n nu
−= 6. nn nu 2
2+= 
 7. nu nn −= 3 8. 12 −−= nnun . 
Bài 2. Xét tính bị chặn các dãy số sau : 
 1. 23 −= nun 2. 1( 1)nu n n= + 
 3. 13.2nnu
−= 4. nnu )3(−= 
 5.
34
34
+
−=
n
nun 6. 2
1
1
n
nu
n
−=
+
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 47
2. Giả sử AB ⊥ CD thì MN QG là hình gì? Tính SMN PQ biết 
AM = x, AB = AC = CD = a. Tính x để diện tích này lớn 
nhất. 
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung cạnh 
AB và không đồng phẳng . I, J, K lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AB, CD, EF. Chứng minh: 
1. (ADF) // (BCE). 
2. (DIK) // (JBE). 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam 
giác ABC, ABD, ACD. Chứng minh rằng (HKL)//(BCD). 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. 
Tam giác SBD là tam giác đều. Một mp (α) di động song song 
với (SBD) qua điểm I trên đoạn AC. Xác định thiết diện của 
hình chóp cắt bởi (α). 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông 
tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân 
tạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M. Đặt AM =x. Mặt phẳng (α) qua 
M và //(SAB). 
1. Dựng thiết diện của hình chóp với (α). 
2. Tính diện tích và chu vi thiết diện theo a và x. 
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song với nhau và ABCD là 
một hình bình hành nằm trong mp (P). các đường thẳng song 
song đi qua A, B, C, D lần lượt cắt mp (Q) tại các điểm A', B', 
C', D'. 
1. Tứ giác A'B'C'D' là hình gì? 
2. Chứng minh (AB'D') // (C'BD). 
3. Chứng minh rằng đoạn thẳng A'C đi qua trọng tâm của hai 
tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia 
đoạn A'C làm ba phần bằng nhau. 
HÌNH LĂNG TRỤ 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 46 
Chứng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC). 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm của BC và CD 
1. Chứng minh rằng BD//(AIJ) 
2. Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. 
 Chứng minh rằng HK//(ABD) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G 
là trọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên cạnh AD sao 
cho DE = 2EA. Chứng minh rằng GE // (SCD). 
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. 
Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD . 
1. Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD) 
2. Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB // 
(MN P) và SC // (MN P). 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên 
SB và CD. (α) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. 
1. Tìm các giao tuyến của (α ) với các mặt phẳng (SBC), 
(SCD) và (SAC). 
2. Xác định thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng (α) . 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi 
M,N là trung điểm SA,SB. Điểm P thay đổi trên cạnh BC 
1. Chứng minh rằng CD//(MN P) 
2. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MN P) . 
 Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang. 
3. Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích 
điểm I 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, 
CD, (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. 
1. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α). 
2. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. 
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Từ điểm M trên AC ta dựng một mp 
(α) song song AB và CD. Mp này lần lượt cắt BC, BD, AD tại 
N , P, Q. 
1. Tứ giác MN QG là hình gì? 
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 19
Bài 3. Cho dãy số ( )nu xác định bởi:⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+=
=
+ 1
2
1
1
1
n
n
n u
uu
u
 ; 1≥∀n . 
 Chứng minh rằng nu bị chặn trên bởi 2
3 và bị chặn dưới bởi 1. 
Bài 4. Cho dãy số ( )nu xác định bởi:⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
+ 2
1
2
1
1
n
n
uu
u
 ; 1≥∀n . 
 Chứng minh rằng nu là dãy giảm và bị chặn. 
Bài 5. Cho dãy số ( )nu xác định bởi:⎩⎨
⎧
++=
=
+
n
nn nuu
u
2).1(
1
1
1 
; 1≥∀n . 
 Chứng minh rằng : 
 1. ( )nu là dãy tăng. 
 2. nn nu 2).1(1 −+= , 1≥∀n . 
CẤP SỐ CỘNG 
Bài 1. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng, biết : 
 1. 
⎩⎨
⎧
=+
=+−
17
10
61
531
uu
uuu 2. 
⎩⎨
⎧
=
=−
75
8
152
37
uu
uu
 3.
⎩⎨
⎧
=
=+
129
14
12
53
s
uu 4. 
⎩⎨
⎧
=+
=+
1170
60
2
12
2
4
157
uu
uu
 5. 
⎩⎨
⎧
−=−
=++
24
25
82
541
uu
uuu
 6. 
⎩⎨
⎧
=
=−
75.
8
72
37
uu
uu
Bài 2. 
 1. Cho cấp số cộng có 1a =10, d = -4 .Tính 10a và 10S . 
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 20 
 2. Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu bằng 2, công sai 
bằng -5 và tổng các số hạng bằng -205. Hỏi cấp số cộng đó có 
bao nhiêu só hạng? 
 3. Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng -2, công sai bằng 3. 
Hỏi 55 là số hạng thứ bao nhiêu của CSC. Tính tổng của 20 số 
hạng liên tiếp kể từ số hạng thứ 15. 
 4. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: 
sin23x-5sin3x +4=0 trên khoảng (0; 50π ). 
Bài 3. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng ( nu ), biết 
rằng: 
⎩⎨
⎧
=+
=−
450)()(
30
2
23
2
17
1723
uu
uu
. 
Bài 4. Hãy tìm tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( nu ) 
có 30152 =+ uu . 
Bài 5. Tính các tổng sau: 
 1. 999...5311 ++++=S 
 2. 2010...6422 ++++=S 
 3. 3003...9633 ++++=S 
Bài 6. góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. 
Tìm ba góc của tam giác đó. 
Bài 7. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. 
Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số cộng 
đó. 
Bài 8. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 
22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm bốn số đó. 
Bài 9. N gười ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: 
hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 
cây,. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng? 
Bài 10. Tìm x để 3 số sau lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó: 
 1. x310 − ; 32 2 +x ; 7-4x 
 2. 23 +x ; 452 ++ xx ; 683 ++ xx 
Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 
 45
2. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). 
Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để 
thiết diện là hình bình hành. 
Bài 6. Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình bình hành. L