Bài tập quan hệ vuông góc trong không gian

C vu«ng t¹i B, mÆt bªn SCD vu«ng t¹i D cã SD = a
 a) CM: SA ^ (ABCD) vµ tÝnh SA.
 b) Trong mÆt ph¼ng (ABCD) kÎ ®­êng th¼ng qua A ^ víi AC c¾t c¸c ®­êng th¼ng CB, CD lÇn l­ît t¹i I, J. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SC. H·y X¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm K, N cña SB, SD víi mÆt ph¼ng (HIJ). CMR: AK ^ (SBC) AN ^ (SCD)
 c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AKHN.
8) Gäi I lµ mét ®iÓm bÊt kú ë trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. CD lµ d©y cung cña ®­êng trßn (O) qua I. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn (O) t¹i I ta lÊy ®iÓm S víi OS = R. gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn ®­êng trßn (O). CMR:
 a) DSDE vu«ng.	 b) SD ^ CE.	 c) DSCD vu«ng.
9) Cho DMAB vu«ng t¹i M ë trong mÆt ph¼ng (a). Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (a) t¹i A ta lÊy hai ®iÓm C, D ë hai bªn ®iÓm A. Gäi C' lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn MD, H lµ giao ®iÓm cña AM vµ CC'.
 a) CM: CC' ^(MBD).
 b) Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AB. CMR: K lµ trùc t©m cña DBCD.
10) Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB= 2R; (O) ë trong mÆt ph¼ng (a). Dùng AS = 2R vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (a). Gäi T lµ mét ®iÓm di ®éng trªn tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A. §Æt = j. ®­êng trßn BT gÆp ®­êng trßn (O) t¹i M. Gäi N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SM. 
 a) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB ®Òu lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
 b) CMR: khi T ®i ®éng ®­êng th¼ng TN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh H.
 c) TÝnh j ®Ó DAHN c©n.
11) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B; SA ^ (ABC). AH lµ ®­êng cao kÎ tõ A cña DSAB . HK ^ SB (K Î SC). CM:
 a) BC ^ (SAB)	b) AH ^ (SBC) 	c) KH ^ (SAB)
12) Cho ba tia Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. 
A Î Ox, B Î Oy, C Î Oz. Gäi H lµ trùc t©m DABC. CMR: OH ^ (ABC).
13) Cho tø diÖn SABC cã SA ^ (ABC). H, K lµ trùc t©m DABC vµ SBC. CMR: 
 a) AH, SK, BC ®ång quy.	 b) SC ^ (BHK).	 c) HK ^ (SBC).
14) Cho tø diÖn ABCD. SA ^ (ABC). Dùng ®­êng cao AE cña DABC.
 a) CM: SE ^ BC.
 b) H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SE. CM: AH ^ SC.
15) Cho tø diÖn ®Òu, CMR hai c¹nh ®èi cña tø diÖn nµy vu«ng gãc víi nhau.
16) Cho mÆt ph¼ng (a) vµ mét ®­êng trßn (C) ®­êng kÝnh AB chøa trong mÆt ph¼ng ®ã. M Î (C) kh«ng trïng víi A vµ B. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (a) t¹i A ta lÊy ®iÓm S.
 a) CM: c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
 b) Mét mÆt ph¼ng (b) qua A vu«ng gãc víi SB t¹i D c¾t SM t¹i E. CM: DAED vu«ng.
17) Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA ^ (ABCD) ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D víi 
AD = DC = . I lµ trung ®iÓm cña AB.
 a) CM: CI ^ SB vµ DI ^ SC.
 b) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
 l) ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc:
1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ (ABCD) vµ SA = 2a. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB; (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vu«ng gãc víi AB. §Æt x = AM (0 < x < a).
 a) T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (a). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
 b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
2) Cho tø diÖn SABC cã DABC ®Òu c¹nh a, SA ^ (ABC) vµ SA = 2a. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua B vµ vu«ng gãc víi SC. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn t¹o vëi mÆt ph¼ng (a) vµ tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn.
3) Cho tø diÖn SABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA ^ (ABC) vµ SA = a. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn SABC víi mÆt ph¼ng (a) vµ tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn trong c¸c tr­êng hîp sau:
 a) (a) qua S vµ vu«ng gãc víi BC.
 b) (a) qua A vµ vu«ng gãc víi trung tuyÕn SI cña DSBC.
 c) (a) qua trung ®iÓm M cña SC vµ ^ AB
4) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh B, AB = a. SA ^ (ABC) vµ SA = a. M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB, §Æt AM = x (0 < x < a) Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi AB.
 a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn SABC t¹o bëi mÆt ph¼ng (a).
 b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn nµy theo a vµ x.
5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD vµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA ^ (ABCD) vµ SA = a. VÏ ®­êng cao AH cña DSAB.
 a) CMR: 
 b) Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SB, (a) c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
6) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a; SA ^ (ABCD) vµ SA = a. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC; (a) c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i M, N, P.
 a) CMR: AM ^ SB, AD ^ SD
 SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2
 b) CM: tø gi¸c AMNP néi tiÕp ®­îc vµ cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
 c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; K = AN Ç MP. CMR: S, K, O th¼ng hµng
 d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AMNP.
7) Cho h×nh thoi ABCD cã t©m O víi c¸c ®­êng chÐo AC = 4a, BD = 2a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) t¹i O lÊy ®iÓm S víi SO = 2a. mÆt ph¼ng (a) qua A vµ ^ SC c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B', C', D'.
 a) Chøng minh tø gi¸c AB'C'D' cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau.
 b) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB'C'D'
 c) CMR: DB'C'D' lµ tam gi¸c ®Òu
8) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. SA ^ (ABC) vµ SA = a. Gäi M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn AC, (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vµ ^ AC.
 a) Tuú theo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn c¹nh AC, cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng (a) víi tø diÖn SABC
 b) §Æt CM = x (0 < x < a). TÝnh diÖn tÝch S cña thiÕt diÖn trªn theo a vµ x vµ X¸c ®Þnh x ®Ó diÖn tÝch nµy cã GTLN. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.
9) Cho h×nh l¨ng trô ABC.AB'C' cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA' ^ (ABC) vµ AA' = a. Cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn cña l¨ng trô t¹o bëi mÆt ph¼ng (a) trong mçi tr­êng hîp sau:
 a) (a) qua A vµ ^ B'C
 b) (a) qua B' vµ ^ A'I (I lµ trung ®iÓm cña BC). 	
III) Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc:
 j ) NhÞ diÖn - gãc cña hai mÆt ph¼ng:
1) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = a, SA ^ (ABCD). TÝnh sè ®o cña c¸c nhÞ diÖn sau:	 a) (S, AB, C)	b) (S, BD, A)	c) (SAB, SCD)
2) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a t©m O; SA ^ (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó sè ®o nhÞ diÖn (B, SC, D) b»ng 1200.
3) Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = . VÏ SO ^ (ABCD) vµ SO = .
 a) CM: gãc ASC = 300.
 b) Chøng minh c¸c mÆt ph¼ng (SAB); (SAD) ^ víi nhau.
4) Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, SC ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AB, BC. TÝnh gãc hîp bëi hai mÆt ph¼ng (SAJ) vµ (SCI).
5) Cho tø diÖn ABCD cã mÆt ABC lµ tam gi¸c ®Òu, mÆt DBC vu«ng c©n t¹i D. BiÕt AB = 2a, AD = a. TÝnh sè ®o gãc nhÞ diÖn c¹nh BC.
6) Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng víi gãc xOy = 900 gãc yOz = 600. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn t¹o bëi hai mÆt ph¼ng xOz, zOy.
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, DSAB ®Òu vµ vu«ng gãc (ABCD). Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB.
 a) CM: SH ^ (ABCD).
 b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. CM: SC ^ DI. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn (B, SC, D)
 k øng dông cña ®Þnh lý diÖn tÝch h×nh chiÕu cña ®a gi¸c
1) Cho DABC ®Òu c¹nh a ë trong mÆt ph¼ng (a). Trªn c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (a) vÏ tõ B vµ C lÊy c¸c ®o¹n BD = ; CE = n»m cïng mét bªn víi (a).
 a) CM: DADE vu«ng. TÝnh .
 b) TÝnh gãc cña (ADE) vµ (a).
2) Cho h×nh thoi ABCD cã ®Ønh A ë trong mÆt ph¼ng (a). C¸c ®Ønh kh¸c kh«ng ë trong mÆt ph¼ng (a), BD = a, AC = a. ChiÕu vu«ng gãc h×nh thoi xuèng mÆt ph¼ng (a) ta ®­îc h×nh vu«ng AB'C'D'.
 a) TÝnh: . Tõ ®ã suy ra gãc cña (ABCD) vµ (a).
 b) Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña CB vµ CD víi mÆt ph¼ng (a). TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c EFDB vµ EFD'B'.
3) Cho DABC ®Òu c¹nh a. Tõ c¸c ®Ønh A, B, C ta vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc mÆt ph¼ng (ABC) lÊy c¸c ®iÓm A', B', C' sao cho AA' = a, BB' = 2a, CC' = x (A', B', C' ë cïng mét phÝa ®èi víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c)
 a) X¸c ®Þnh x ®Ó DA'B'C' vu«ng t¹i A'.
 b) Trong tr­êng hîp ®ã tÝnh gãc cña (ABC) vµ (A'B'C').
4) Cho DABC c©n cã ®¸y lµ BC = 3a, BC Ì (a) vµ tam gi¸c cã ®­êng cao 
AH = a. A' lµ h×nh chiÕu cña A trªn (a) sao cho DA'BCvu«ng t¹i A'. TÝnh gãc cña hai mÆt ph¼ng (a) vµ (ABC).
 l) Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng:
1) Cho tø diÖn ABCD cã AB ^ (BCD). Trong DBCD vÏ c¸c ®­êng cao BE vµ DF c¾t nhau t¹i O. trong mÆt ph¼ng (ADC) vÏ DK ^ AC t¹i K.
 a) CM: (ADC) ^ (ABE); (ADC) ^ (DFK)
 b) Gäi H lµ trùc t©m cña DAOD. CM: OH ^ (ACD).
2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O. (SAD) vµ (SAB) cïng vu«ng gãc víi (ABCD). Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ ^ víi SC, (a) c¾t SC t¹i I.
 a) CMR: SA ^ (ABCD).
 b) X¸c ®Þnh giao ®iÓm K cña (a) vµ SO.
 c) CM: (SBD) ^ (SAO) vµ BD // (a).
 d) X¸c ®Þnh giao tuyÕn d cña (SBD) vµ (a). 
3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, SA ^ (ABCD).
a) CM: (SAD) ^ (SCD)
b) Gäi BE, DF lµ hai ®­êng cao cña DSBD. CMR: 
 (ACF) ^ (SBC); (ACE) ^ (SDC); (AEF) ^ (SAC)
4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA ^ (ABCD). Gäi M, N lµ hai ®iÓm lÇn l­ît ë trªn c¹nh BC, DC sao cho BM = ; DN = . CM: (SAM) ^ (SMN).
5) Cho DABC vu«ng t¹i A. VÏ BB' vµ CC' cïng vu«ng gãc víi (ABC).
 a) CM: (ABB') ^ (ACC')
 b) Gäi AH, AK lµ ®­êng cao cña DABC vµ DAB'C'. CMR:
 (BCC'B') ^ (AHK) (AB'C') ^ (AHK)
6) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn (SAB) lµ tam gi¸c ®Òu vµ vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. CMR:
 a) SI ^ (ABCD) 	b) AD ^ (SAB)
7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; AB = a; SO ^ (ABCD) vµ SO = ; Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. CMR: 
 a) (SAC) ^ (SBD)	b) (SIJ) ^ (SBC)	c) (SAD) ^ (SBC)
8) Cho h×nh vu«ng ABCD, I lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) t¹i I ta lÊy ®iÓm S (S ¹ I).
 a) CM: (SAD) ^ (SAB). (SBC) ^ (SAB).
 b) J lµ trung ®iÓm cña BC. CM: (SBD) ^ (SIJ).
9) Cho DABC vu«ng t¹i A; Gäi O, I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, AB, AC. Trªn ®­êng th¼ng ^ (ABC) t¹i O ta lÊy ®iÓm S (S ¹ O). CMR:
 a) (SBC) ^ (ABC)	b) (SOI) ^ (SAB)	c) (SOI) ^ (SOJ)
10) Cho tø diÖn SABC cã SA = SC. (SAC) ^ (ABC). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. 
CM: SI ^ (ABC).
11) Cho tø diÖn ABCD cã AB ^ (BCD). Gäi BE, DF lµ hai ®­êng cao cña DBCD ; DK lµ ®­êng cao cña DACD.
 a) CM: (ABE) ^ (ADC); (DFK) ^ (ACD).
 b) Gäi O vµ H lÇn l­ît lµ trùc t©m cña hai DBCD , ACD. CM: OH ^ (ADC).
12) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, DSAB c©n t¹