Bài tập nâng cao biến đổi lượng giác

Phần 1: Biến đổi lượng giác
Bài 1. Tính A = sinx.cosx; B = sin3x + cos3x; C = tanx+cotx; D = tan2x+cot2x; E = tan3x+cot3x biết:
 a) sinx+cosx = 1/3 b)sinx+cosx = -3/4 c) sinx – cosx=4/5 với sinx+cosx<0 d) sinx-cosx = -1/2.
Bài 2. Cho cotx = 2, tính: A = (3sinx+5cosx)/(7sinx-8cosx); B = (8sinx-3cosx)/(sinx+4cosx) 
 C = (sin3x+5cosx)/(7sinx+cos3x); D = (6sin3x+cos3x)/(sinx-cosx); E = (6sinx-5cosx)/(3sin3x-23cos3x). 
Bài 3. Cho 3sin4x+cos4x=1. Tính A = 4sin2x+8cos2x B = 7sin2x-3cos2x.
Bài 4. Cho sin4x+2cos4x=1. Tính A = sin2-9cos2x B = 5sin2x-6cos2x.
I- Chứng minh đẳng thức
1/. 2/. 3/. 9/. 10/. 11/. A, sin4x-cos4x=1-2cos2x B, sin4x+cos4x=1-2cos2x.sin2x C, sin6x+cos6x=1-3sin2x.cos2x 
 D, sin8+cos8x=1-4sin2x.cos2x+2sin4x.cos4x 12/. a)sin2x-tg2x=tg6x(cos2x-cotg2x)b) 
13/. A, B, 
II- Rút gọn biểu thứcA=cos2x+cos2x.tg2x 
 E=(tgx+cotgx)2-(tgx-cotgx)2 
III- Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x: A=cos4x-sin4x+2sin2x (=1) B=cos4x+sin2x.cos2x+sin2x (=1) C=2(cos6x+sin6x)-3(sin4x+cos4x) (=-1) D=3(sin8x-cos8x)+4(cos6x-2sin6x)+6sin4x (=1)E= (=3) A=2(sin4x+cos4x+sin2x.cos2x)2-(sin8x+sin8x) B=sin6x+cos6x-2sin4x-cos4x+sin2x 
 D=(sin4x+cos4x-1)(tg2x+cotg2x+2)
 H=cos2x.cotg2x+5cos2x-cotg2x+4sin2x
I=(1+cotgx)sin3x+(1+tgx)cos3x-sinx-cosxM=sin8x+cos8x+6sin4x.cos4x+4sin2x.cos2x(sin4x+cos4x)
B- Bài tập ứng dụng:
I- Chứng minh đẳng thức
Chứng minh rằng:	
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Cho . Chứng minh rằng: 
Cho 
CMR: 
Cho: CMR:
A, sin4x-cos4x=1-2cos2x B, sin4x+cos4x=1-2cos2x.sin2x
C, sin6x+cos6x=1-3sin2x.cos2x D, sin8+cos8x=1-4sin2x.cos2x+2sin4x.cos4x
sin2x-tg2x=tg6x(cos2x-cotg2x)
A, B, 
Cho CMR: 
 CMR: 
II- Rút gọn biểu thức
A=cos2x+cos2x.tg2x
 E=(tgx+cotgx)2-(tgx-cotgx)2
III- Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x
A=cos4x-sin4x+2sin2x (=1) B=cos4x+sin2x.cos2x+sin2x (=1)
C=2(cos6x+sin6x)-3(sin4x+cos4x) (=-1) D=3(sin8x-cos8x)+4(cos6x-2sin6x)+6sin4x (=1)
E= (=3)
Cho 
CMR: Không phụ thuộc vào .
Cho x,y thoả mãn: . Tìm hệ thức giữa m, n không chứa x,y.
Đ/s:
A=2(sin4x+cos4x+sin2x.cos2x)2-(sin8x+sin8x) B=sin6x+cos6x-2sin4x-cos4x+sin2x
 D=(sin4x+cos4x-1)(tg2x+cotg2x+2)
 H=cos2x.cotg2x+5cos2x-cotg2x+4sin2x
I=(1+cotgx)sin3x+(1+tgx)cos3x-sinx-cosx
M=sin8x+cos8x+6sin4x.cos4x+4sin2x.cos2x(sin4x+cos4x)
Cho S=sin6x+cos6x-m(sin4x+cos4x)
1/. Tìm m đề S không phụ thuộc x. 2/. Tìm giá trị của S với m tìm được.
Cho S=m(cos8x- sin8x)+4(cos6x-sin6x)+nsin4x
1/. Tìm m,n đề S không phụ thuộc x. 2/. Tìm giá trị của S với m,n tìm được.
Cho S=sin6x+cos6x+a(sin4x+cos4x)+4(a+1)sin2x.cos2x
Tìm a đề S không phụ thuộc x.
IV- Tính giá trị của các biểu thức lượng giác 
Cho sinx+cosx=4/5
Tính giá trị các biểu thức sau:
A=sinx.cosx (9/50) B=sinx-cosx C=sin3x-cos3x
Cho tgx-cotgx=3
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x+cotg2x B=tgx+cotgx C=tg4x-cotg4x
Cho tgx=2
Tính các giá trị của biểu thức sau:
.....
Cho sinx+cosx=m.
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=sinx.cosx B=sinx-cosx C=sin3x+cos3x
D=sin4x-cos4x E=sin5x+cos5x F= sin6x+cos6x G= sin8x+cos8x H= sin7x-cos7x
Cho sinx-cosx=m
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=sinx+cosx B=sin3x-cos3x C= sin4x+cos4x
D= sin5x-cos5x E= sin6x-cos6x F= sin7x-cos7x G= sin8x+cos8 H= sin9x-cos9x
Cho tgx+cos tgx=m
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x+cotg2x B= tg3x-cotg3x C= tg4x+cotg4x
D= tg5x-cotg5x E= tg6x+cotg6x
Cho tgx-cotgx=m
Tính các giá trị của biểu thức sau: A=tg2x-cotg2x B= tg3x-cotg3x C= tg4x-cotg4x
 D= tg5x-cotg5x E= tg8x+cotg8x
Tìm Max, min của: 
Cho 3sin4x-cos4x=1/2. Tính: A=sin4x+3cos4x
Cho 3sin4x+2cos4x=98/81. Tính: A=2sin4x-5cos6x
Cho sin4x+2cos4x=1. Tính: A=5sin6x-8cos8x
Cho 17cos4x-5sin4x=7. Tính: A=9sin8x-2cos6x
Phần 2: góc liên quan đặc biệt
Tính giá trị của các biểu thức:
Rút gọn các biểu thức sau:
II- Công thức cộng góc
Tính giá trị các hàm số lượng giác của các góc: 
Tính giá trị: 
Cho: . Tính 
Cho: . CMR: 
CMR: 
Cho:. Tính: tga.tgb
Rút gọn:
Cho:. CMR: 
Cho: . CMR: 
Cho: .Tính x+y
Cho: . Tính x+y
Cho: . Tính a+b
Cho: Tính tg2a, tg2b
Cho: . CMR:
Cho: CMR: 
Cho: . Tính tgx, tgy
Cho: . Tính a+b
Rút gọn các biểu thức:
Chứng minh rằng:
 2
3. cos(x+y).cos(x-y)=cos2a-sin2y=cos2y-sin2y 4.sin(x+y).sin(x-y)=sin2x-sin2y=cos2y-cos2x
5. sin(x+y).cos(x-y)=sinx.cosx+siny.cosy 6.cosa.sin(b-c)+cosb.sin(c-a)+cosc.sin(a-b)=0
7. sina.sin(b-c)+sinb.sin(c-a)+sinc.sin(a-b)=0 
8.cos(a+b).sin(a-b)+cos(b+c).sin(b-c)+cos(c+a).sin(c-a)=0
sin(a+b).sin(a-b)+sin(b+c).sin(b-c)+sin(c+a).sin(c-a)=0
10 
11
12. tg6a-tg4a-tg2a=tg6a.tg4a.tg2a 13. tg(a+b)-tga-tgb=tg(a+b).tga.tgb
14. tga+tgb+tgc-
Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
 (=3/4)
 (=-1)
 (=sin2a)
Cho cos2a+cos2b=1. CMR: cos(a+b).cos(a-b)=1
Cho sinb=sina.cos(a+b). CMR: 2tga=tg(a+b)
Cho 3sinb=sin(2a+b). CMR: 2tga=tg(a+b)
Cho 2sinb=sin(2a+b). CMR: 3tga=tg(a+b)
Cho sin2x=sina.cosa. CMR: 
Cho sinb=msin(a+b). CMR: 
III- Công thức góc bội
Chứng minh rằng
1 2. 
3. 4. 
5. 6. 
7. 8.
9. 
10.11.
12. 13.
14. 15. 
16. 17.
18. 19.
20. 
Cho cosa+cosb+cosc=0. CMR: 12cosa.cosb.cosc=cos3a+cos3b+cos3c
Rút gon các biểu thức:
 2.B=cos3x.sinx-sin3x.cosx
 4. D=cos3a.cos3a+sin3a.sin3a
5. E=cos3a.cos3a-sin3a.sin3a 6. F=sin3a.cos3a+cos3a.sin3a
7. 8.
9. 10.
Tính giá trị của các biểu thức sau:
A=cos200.cos400.cos600.cos800 (Nhân 2 vế với sin200)
 (Nhân 2 vế với sin)
(Nhân 2 vế với sin60)
CMR: 
áp dụng tính: 
 (3/256) (3)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
CMR: 
Tính: 
CMR: 
Tính: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
Cho . CMR: 
Cho . CMR: 
IV- Công thức biến đổi tổng thành tích - Tích thành tổng
Rút gọn các biểu thức:
Rút gọn các biểu thức: 
Biến đối thành tích
M=1+2cosa+cos2a N=1+2sina-cos2a P=1-cosa+cos2a Q=1+sina-cos2a
Chứng minh các đẳng thức sau:
sina+sin3a+sin9a-sin5a=4sin2a.cos4a.cos3a 
cosa+cos5a-cos7a-cos11a=4sin3a.sin6a.cos2a
Cho CMR: 
Cho: 
CMR: 
CMR: 
CMR: sin5a=16sin5a-20sin3a+5sina
Cho: CMR: 
Cho: msin(a+b)=cos(a-b), a-b≠kp, |m|≠1
CMR: