Bài giảng Hình học 11: Phép đối xứng trục

 8 tháng 9 năm 2011 2 / 13
university-logo
NỘI DUNG BÀI HỌC
1 Định nghĩa phép đối xứng trục
2 Định lí
3 Trục đối xứng của một hình
4 Áp dụng
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 2 / 13
university-logo
NỘI DUNG BÀI HỌC
1 Định nghĩa phép đối xứng trục
2 Định lí
3 Trục đối xứng của một hình
4 Áp dụng
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 2 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 Nhắc lại điểm M đối xứng với điểm M’ qua
đường thẳng a?
2 Như vậy, trong mặt phẳng cho điểm M và
đường thẳng a. Có bao nhiêu điểm M’ đối xứng
với điểm M qua a?
3 Thế thì, trong mặt phẳng cho điểm M và đường
thẳng a, gọi M’ là điểm đối xứng của M qua a.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm
M’, quy tắc này có phải là phép biến hình hay
không? Vì sao?
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 3 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 Nhắc lại điểm M đối xứng với điểm M’ qua
đường thẳng a?
2 Như vậy, trong mặt phẳng cho điểm M và
đường thẳng a. Có bao nhiêu điểm M’ đối xứng
với điểm M qua a?
3 Thế thì, trong mặt phẳng cho điểm M và đường
thẳng a, gọi M’ là điểm đối xứng của M qua a.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm
M’, quy tắc này có phải là phép biến hình hay
không? Vì sao?
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 3 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 Nhắc lại điểm M đối xứng với điểm M’ qua
đường thẳng a?
2 Như vậy, trong mặt phẳng cho điểm M và
đường thẳng a. Có bao nhiêu điểm M’ đối xứng
với điểm M qua a?
3 Thế thì, trong mặt phẳng cho điểm M và đường
thẳng a, gọi M’ là điểm đối xứng của M qua a.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm
M’, quy tắc này có phải là phép biến hình hay
không? Vì sao?
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 3 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 ĐỊNH NGHĨA 1
Phép đối xứng trục qua đường thẳng a là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối
xứng với M qua a.
2 Kí hiệu và thuật ngữ: Đa
3 Đường thẳng a gọi là trục đối xứng
4 Phép đối xứng trục Đa, những điểm nào biến
thành chính nó?
5 Trả lời: Những điểm thuộc đường thẳng a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 4 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 ĐỊNH NGHĨA 1
Phép đối xứng trục qua đường thẳng a là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối
xứng với M qua a.
2 Kí hiệu và thuật ngữ: Đa
3 Đường thẳng a gọi là trục đối xứng
4 Phép đối xứng trục Đa, những điểm nào biến
thành chính nó?
5 Trả lời: Những điểm thuộc đường thẳng a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 4 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 ĐỊNH NGHĨA 1
Phép đối xứng trục qua đường thẳng a là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối
xứng với M qua a.
2 Kí hiệu và thuật ngữ: Đa
3 Đường thẳng a gọi là trục đối xứng
4 Phép đối xứng trục Đa, những điểm nào biến
thành chính nó?
5 Trả lời: Những điểm thuộc đường thẳng a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 4 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 ĐỊNH NGHĨA 1
Phép đối xứng trục qua đường thẳng a là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối
xứng với M qua a.
2 Kí hiệu và thuật ngữ: Đa
3 Đường thẳng a gọi là trục đối xứng
4 Phép đối xứng trục Đa, những điểm nào biến
thành chính nó?
5 Trả lời: Những điểm thuộc đường thẳng a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 4 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 ĐỊNH NGHĨA 1
Phép đối xứng trục qua đường thẳng a là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối
xứng với M qua a.
2 Kí hiệu và thuật ngữ: Đa
3 Đường thẳng a gọi là trục đối xứng
4 Phép đối xứng trục Đa, những điểm nào biến
thành chính nó?
5 Trả lời: Những điểm thuộc đường thẳng a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 4 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 Phép đối xứng trục Đa biến điểm M thành điểm
M’ thì nó biếm điểm M’ thành điểm nào? Nếu
biến hình H thành hình H’ thì nó biến hình H’
thành hình nào?
2 Trả lời: Biến H’ thành hình H
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 5 / 13
university-logo
1. Định nghĩa phép đối xứng trục
1 Phép đối xứng trục Đa biến điểm M thành điểm
M’ thì nó biếm điểm M’ thành điểm nào? Nếu
biến hình H thành hình H’ thì nó biến hình H’
thành hình nào?
2 Trả lời: Biến H’ thành hình H
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 5 / 13
university-logo
2. Định lí
1 Phép đối xúng trục là phép dời hình
2 Chứng minh: Giả sử Đa là phép đối xứng qua
đường thẳng a. Ta chọn hệ trục Oxy mà Ox là
đường thẳng a
M
M ′
A
B
A′
B ′
O x
y
a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 6 / 13
university-logo
2. Định lí
1 Phép đối xúng trục là phép dời hình
2 Chứng minh: Giả sử Đa là phép đối xứng qua
đường thẳng a. Ta chọn hệ trục Oxy mà Ox là
đường thẳng a
M
M ′
A
B
A′
B ′
O x
y
a
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 6 / 13
university-logo
Chứng minh định lí
1 Lấy 2 điểm A(xA; yA) và B(xB ; yB), khi đó Đa(A)
= A’(xA;−yA), Đa(B) = B’(xB;−yB)
2 AB =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2, A’B’ =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2, suy ra AB = A’B’
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 7 / 13
university-logo
Chứng minh định lí
1 Lấy 2 điểm A(xA; yA) và B(xB ; yB), khi đó Đa(A)
= A’(xA;−yA), Đa(B) = B’(xB;−yB)
2 AB =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2, A’B’ =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2, suy ra AB = A’B’
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 7 / 13
university-logo
Biểu thức tọa độ của ĐOx , ĐOy
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x; y),
M’(x’; y’) = ĐOx , khi đó
{
x ′ = x
y ′ = −y
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x; y),
M’(x’; y’) = ĐOy , khi đó
{
x ′ = −x
y ′ = y
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 8 / 13
university-logo
Biểu thức tọa độ của ĐOx , ĐOy
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x; y),
M’(x’; y’) = ĐOx , khi đó
{
x ′ = x
y ′ = −y
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x; y),
M’(x’; y’) = ĐOy , khi đó
{
x ′ = −x
y ′ = y
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 8 / 13
university-logo
Tổng quát biểu thức tọa độ
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(xM ; yM) và
đường thẳng d : Ax + By + C = 0, M’(xM ′; yM ′)=
Đd(M).
2 Khi đó ta có

(xM ′ − xM).B − (yM ′ − yM).A = 0
A.
xM ′ + xM
2
+ B .
yM ′ + yM
2
+ C = 0
3 Như vậy xM ′ và yM ′ là nghiệm của
hệ:


(x − xM).B − (y − yM).A = 0
A.
x + xM
2
+ B .
y + yM
2
+ C = 0
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 9 / 13
university-logo
Tổng quát biểu thức tọa độ
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(xM ; yM) và
đường thẳng d : Ax + By + C = 0, M’(xM ′; yM ′)=
Đd(M).
2 Khi đó ta có

(xM ′ − xM).B − (yM ′ − yM).A = 0
A.
xM ′ + xM
2
+ B .
yM ′ + yM
2
+ C = 0
3 Như vậy xM ′ và yM ′ là nghiệm của
hệ:


(x − xM).B − (y − yM).A = 0
A.
x + xM
2
+ B .
y + yM
2
+ C = 0
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 9 / 13
university-logo
Tổng quát biểu thức tọa độ
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(xM ; yM) và
đường thẳng d : Ax + By + C = 0, M’(xM ′; yM ′)=
Đd(M).
2 Khi đó ta có

(xM ′ − xM).B − (yM ′ − yM).A = 0
A.
xM ′ + xM
2
+ B .
yM ′ + yM
2
+ C = 0
3 Như vậy xM ′ và yM ′ là nghiệm của
hệ:


(x − xM).B − (y − yM).A = 0
A.
x + xM
2
+ B .
y + yM
2
+ C = 0
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 9 / 13
university-logo
3. Trục đối xứng của một hình
1 Cho tam giác cân, tìm đường thẳng mà qua
phép đối xứng qua đường thẳng đó biến tam
giác cân thành chính nó?
2 Định nghĩa 2. Đường thẳng d gọi là trục đối
xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd
biến H thành chính nó
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 10 / 13
university-logo
3. Trục đối xứng của một hình
1 Cho tam giác cân, tìm đường thẳng mà qua
phép đối xứng qua đường thẳng đó biến tam
giác cân thành chính nó?
2 Định nghĩa 2. Đường thẳng d gọi là trục đối
xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd
biến H thành chính nó
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 10 / 13
university-logo
4. Áp dụng
1 Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và hai
điểm A, B nằm về một phía của d. Hãy xác định
điểm M thuộc d sao cho MA + MB bé nhất.
2 Lấy A’ là điểm đối xứng của A qua d, khi đó
MA + MB = MA’ + MB. Như vậy MA + MB
nhỏ nhất khi MA’ + MB nhỏ nhất khi M trùng
với I, I là giao điểm của A’B với d.
A
B
A′
I
M
Hình: Hình 2
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 11 / 13
university-logo
4. Áp dụng
1 Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và hai
điểm A, B nằm về một phía của d. Hãy xác định
điểm M thuộc d sao cho MA + MB bé nhất.
2 Lấy A’ là điểm đối xứng của A qua d, khi đó
MA + MB = MA’ + MB. Như vậy MA + MB
nhỏ nhất khi MA’ + MB nhỏ nhất khi M trùng
với I, I là giao điểm của A’B với d.
A
B
A′
I
M
Hình: Hình 2
ĐOÀN TRƯƠNG (giáo viên toán) Trường THPT Trần Quý Cáp, Hội an Ngày 8 tháng 9 năm 2011 11 / 13
university-logo
5. Củng cố
1 Các biểu thức tọa độ của đối xứng trục Ox, Oy ?
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(xM ; yM) và
đường thẳng d : Ax + By + C = 0, M’(xM ′; yM ′)=
Đd(M). Nêu các